Calcule as seguintes integrais.
\int\left(e^{-x}+4^{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva da função
e^{-x} + 4^{x}
ou seja, calcular
\int \bigl(e^{-x} + 4^{x}\bigr)\,dx.
Vamos usar duas fórmulas de integração de exponenciais:
  1. \displaystyle \int e^{a x}\,dx = \frac{e^{a x}}{a} + C,
  2. \displaystyle \int a^{x}\,dx = \frac{a^{x}}{\ln(a)} + C.

Passo 2

Separamos a integral em duas parcelas:
\int \bigl(e^{-x} + 4^{x}\bigr)\,dx = \int e^{-x}\,dx \;+\; \int 4^{x}\,dx.

Passo 3

Aplicando \displaystyle \int e^{a x}\,dx = \frac{e^{a x}}{a} com a = -1, temos
\int e^{-x}\,dx = \frac{e^{-x}}{-1} = -\,e^{-x}.

Passo 4

Aplicando \displaystyle \int a^{x}\,dx = \frac{a^{x}}{\ln(a)} com a = 4, obtemos
\int 4^{x}\,dx = \frac{4^{x}}{\ln(4)}.

Passo 5

Somando as duas parcelas e incluindo a constante de integração C, a primitiva geral é
-e^{-x} \;+\; \frac{4^{x}}{\ln(4)} \;+\; C.

Resposta

-e^{-x} + \frac{4^{x}}{\ln(4)} + C

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