Calcule as seguintes integrais.
\int\left(8 y-\frac{2}{y^{1 / 4}}\right) d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\Bigl(8y - \frac{2}{y^{1/4}}\Bigr)\,dy.
O conteúdo aqui é a regra de potência para integrais:
\int y^{n}\,dy = \frac{y^{n+1}}{n+1} + C,\quad n\neq -1.

Passo 2

Separamos a integral em dois termos usando linearidade:
\int\Bigl(8y - \frac{2}{y^{1/4}}\Bigr)\,dy = \int 8y\,dy \;-\; 2\int y^{-1/4}\,dy.

Passo 3

Aplicamos a regra de potência ao primeiro termo. Aqui n=1 e a constante 8 sai da integral:
\int 8y\,dy = 8\int y^{1}\,dy = 8\cdot\frac{y^{1+1}}{1+1} = 8\cdot\frac{y^{2}}{2} = 4y^{2}.

Passo 4

Agora o segundo termo, com n=-\tfrac14:
\int y^{-1/4}\,dy = \frac{y^{-1/4+1}}{-1/4+1} = \frac{y^{3/4}}{3/4} = \frac{4}{3}\,y^{3/4}.
Multiplicando por -2:
-2\int y^{-1/4}\,dy = -2\cdot\frac{4}{3}\,y^{3/4} = -\frac{8}{3}\,y^{3/4}.

Passo 5

Somando os resultados e lembrando da constante de integração C, obtemos
4y^{2}\;-\;\frac{8}{3}y^{3/4}\;+\;C.

Resposta

4y^{2} - \frac{8}{3}y^{3/4} + C.

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