Calcule as seguintes integrais.
\int\left(4 \operatorname{sec} x \tan x-2 \operatorname{sec} ^{2} x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int\bigl(4\operatorname{sec} x\tan x \;-\;2\operatorname{sec}^2 x\bigr)\,dx.
O conteúdo é cálculo de integrais de funções trigonométricas, usando a linearidade da integral e as antiderivadas conhecidas de \operatorname{sec} x\tan x e \operatorname{sec}^2 x.

Passo 2

Usando a propriedade linear da integral, separamos em duas integrais mais simples:
\int\bigl(4\operatorname{sec} x\tan x \;-\;2\operatorname{sec}^2 x\bigr)\,dx =4\int \operatorname{sec} x\tan x\,dx \;-\;2\int \operatorname{sec}^2 x\,dx.

Passo 3

Lembramos que a derivada de \operatorname{sec} x é \operatorname{sec} x\tan x. Logo,
\int \operatorname{sec} x\tan x\,dx = \operatorname{sec} x + C_1.
Portanto
4\int \operatorname{sec} x\tan x\,dx = 4\operatorname{sec} x + C'_1.

Passo 4

Também sabemos que a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^2 x. Assim,
\int \operatorname{sec}^2 x\,dx = \tan x + C_2,
e
-2\int \operatorname{sec}^2 x\,dx = -2\tan x + C'_2.

Passo 5

Somando as duas partes e agrupando as constantes de integração, obtemos
\int\bigl(4\operatorname{sec} x\tan x -2\operatorname{sec}^2 x\bigr)\,dx =4\operatorname{sec} x \;-\;2\tan x \;+\;C,
onde C=C'_1+C'_2 é a constante geral.

Resposta

4\operatorname{sec} x \;-\;2\tan x + C.

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