Calcule as seguintes integrais iteradas:
integral-1^1 integral0^2 integral0^1(x y-z^3) d z d y d x ;

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral tripla iterada
integral-1^1!integral0^2!integral0^1l(xy - z^3r),dz,dy,dx
O conteúdo envolvido é integração iterada de função polinomial em três variáveis; vamos usar a linearidade da integral e o Teorema de Fubini para integrar em cada variável sucessivamente.

Passo 2

Integramos primeiro em z, tratando x e y como constantes:
integral0^1l(xy - z^3r),dz = xyintegral0^1dz ;-;integral0^1z^3,dz = xyl[zr]0^1 ;-;l[tfracz^44r]0^1 = xy - tfrac14

Passo 3

Com isso, a integral se reduz a
integral-1^1!integral0^2l(xy - tfrac14r),dy,dx
Agora integramos em y:
integral0^2l(xy - tfrac14r),dy = xintegral0^2y,dy ;-;tfrac14integral0^2dy = xl[tfracy^22r]0^2 ;-;tfrac14cdot2 = 2x - tfrac12

Passo 4

Fica então
integral-1^1l(2x - tfrac12r),dx = 2integral-1^1x,dx ;-;tfrac12integral-1^1dx = 2cdot0 ;-;tfrac12cdot2 = -1,
pois integral-1^1x,dx=0 por simetria.

Resposta

O valor da integral iterada é -1.

Exercícios relacionados