Justifique todas as suas respostas.
Em cada item é obrigatório o esboço da região de integração.
Mostre que
integralegral triplaR^3|X| e^|X|^2 d V=integral-infty^infty d z integral-infty^infty d y integral-infty^infty raizx^2+y^2+z^2 e^-(x^2+y^2+z^2) d x=2 pi
Sugestão: A integral imprópria tripla é definida como o limite da integral tripla sobre uma esfera sólida quando o raio da esfera aumenta indefinidamente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o enunciado está pedindo. A gente precisa mostrar que uma integral tripla imprópria sobre todo o espaço tridimensional R^3 é igual a 2pi . A integral é a seguinte:
integral triplaR^3 |X| e^-|X|^2 , dV = integral-infty^inftydz integral-infty^inftydy integral-infty^infty raizx^2 + y^2 + z^2 , e^- (x^2 + y^2 + z^2) , dx = 2pi
Vamos precisar usar coordenadas esféricas para simplificar essa integral, já que temos uma função que depende da distância do ponto X até a origem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Como a integral vai de -infty a infty em todas as direções x , y e z , estamos integrando sobre todo o espaço tridimensional R^3 . Isso significa que a região de integração é uma esfera de raio infinito.

Passo 3

Agora, vamos mudar as coordenadas cartesianas [(x, y, z)) para coordenadas esféricas . Nas coordenadas esféricas:
Onde:
  • é o ângulo polar (entre o vetor e o eixo ),
    - é o ângulo azimutal (no plano ).

Passo 4

Quando mudamos para coordenadas esféricas, o elemento de volume dV se transforma em:
dV = r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi
Além disso, |X| = r , pois é a distância do ponto à origem.

Passo 5

Substituindo tudo na integral original, temos:
integral triplaR^3 r , e^-r^2 , r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi
Simplificando os termos:
integral0^infty r , e^-r^2 , r^2 , dr integral0^pi sintheta , dtheta integral0^2pi dphi

Passo 6

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Primeiro, a integral em phi :
integral0^2pi dphi = 2pi
Depois, a integral em theta :
integral0^pi sintheta , dtheta = 2
Finalmente, a integral em r :
integral0^infty r^3 e^-r^2 , dr

Passo 7

Para resolver a integral em r , vamos fazer uma substituição. Seja u = r^2 , então du = 2r , dr ou r , dr = 12 du .
Expressando a integral em termos de u :
integral0^infty r^3 e^-r^2 , dr = integral0^infty r^2 cdot r , e^-u , dr = integral0^infty u cdot 12 e^-u , du = 12 integral0^infty u e^-u , du
Sabemos que integral0^infty u e^-u , du = 1! = 1 (isso é resultado da função Gamma, onde Gamma(n) = (n-1)! ).
Então:
12 cdot 1 = 12

Passo 8

Agora, juntando tudo:
2pi cdot 2 cdot 12 = 2pi

Resposta

Portanto, a integral tripla é igual a 2pi .

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