Justifique todas as suas respostas.
Em cada item é obrigatório o esboço da região de integração.
Mostre que
Sugestão: A integral imprópria tripla é definida como o limite da integral tripla sobre uma esfera sólida quando o raio da esfera aumenta indefinidamente.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o enunciado está pedindo. A gente precisa mostrar que uma integral tripla imprópria sobre todo o espaço tridimensional é igual a . A integral é a seguinte:
Vamos precisar usar coordenadas esféricas para simplificar essa integral, já que temos uma função que depende da distância do ponto até a origem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Como a integral vai de a em todas as direções , e , estamos integrando sobre todo o espaço tridimensional . Isso significa que a região de integração é uma esfera de raio infinito.
Passo 3
Agora, vamos mudar as coordenadas cartesianas [(x, y, z)) para coordenadas esféricas . Nas coordenadas esféricas:
Onde:
é o ângulo polar (entre o vetor e o eixo ),
- é o ângulo azimutal (no plano ).
Passo 4
Quando mudamos para coordenadas esféricas, o elemento de volume dV se transforma em:
dV = r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi
Além disso, |X| = r , pois é a distância do ponto à origem.
Passo 5
Substituindo tudo na integral original, temos:
integral triplaR^3 r , e^-r^2 , r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi
Simplificando os termos:
integral0^infty r , e^-r^2 , r^2 , dr integral0^pi sintheta , dtheta integral0^2pi dphi
Passo 6
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Primeiro, a integral em phi :
integral0^2pi dphi = 2pi
Depois, a integral em theta :
integral0^pi sintheta , dtheta = 2
Finalmente, a integral em r :
integral0^infty r^3 e^-r^2 , dr
Passo 7
Para resolver a integral em r , vamos fazer uma substituição. Seja u = r^2 , então du = 2r , dr ou r , dr = 12 du .
Expressando a integral em termos de u :
integral0^infty r^3 e^-r^2 , dr = integral0^infty r^2 cdot r , e^-u , dr = integral0^infty u cdot 12 e^-u , du = 12 integral0^infty u e^-u , du
Sabemos que integral0^infty u e^-u , du = 1! = 1 (isso é resultado da função Gamma, onde Gamma(n) = (n-1)! ).