Justifique todas as suas respostas.
Em cada item é obrigatório o esboço da região de integração.
Utilize a transformação para determinar o volume da região limitada pela superfície e pelos planos coordenados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume da região que está limitada pela superfície e pelos planos coordenados (, , ). Para isso, vamos usar uma transformação de variáveis: , , e . Isso vai facilitar nossa vida na hora de calcular o volume usando integrais múltiplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como fica a equação da superfície após a transformação. Substituindo , e :
Como estamos trabalhando com planos coordenados e volumes positivos, podemos considerar , , positivos. Então, a equação fica:
Isso define uma região tetraédrica no espaço .
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração para , e nessa nova região. Observando e assumindo que , , são positivos, temos:
varia de 0 a 1.
Para cada valor de , varia de 0 a .
Para cada par , varia de 0 a .
Então, os limites são:
Passo 4
Vamos precisar calcular o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a integral. A transformação é:
A matriz jacobiana é:
O determinante jacobiano |J| é:
|J| = 2u times 2v times 2w = 8uvw
Passo 5
Agora, montamos a integral tripla para calcular o volume na nova variável:
V = integral0^1 integral0^1 - u integral0^1 - u - v 8uvw , dw , dv , du
Vamos resolver a integral passo a passo:
Primeiro, integremos em relação a w:
integral0^1 - u - v 8uvw , dw = 8uv [ w^22 ]0^1 - u - v = 8uv cdot (1 - u - v)^22 = 4uv(1 - u - v)^2
Agora, integremos em relação a v:
integral0^1 - u 4uv(1 - u - v)^2 , dv
Vamos fazer uma substituição t = 1 - u - v, então dt = -dv e quando v = 0, t = 1 - u, e quando v = 1 - u, t = 0:
4u integral1 - u^0 u( t )^2 (-dt) = 4u integral0^1 - u t^2 , dt = 4u cdot t^33 |0^1 - u = 4u3 (1 - u)^3
Finalmente, integremos em relação a u:
integral0^1 4u3 (1 - u)^3 , du
Vamos expandir (1 - u)^3:
(1 - u)^3 = 1 - 3u + 3u^2 - u^3
Então, a integral fica:
43 integral0^1 u (1 - 3u + 3u^2 - u^3) , du = 43 integral0^1 (u - 3u^2 + 3u^3 - u^4) , du