Justifique todas as suas respostas.
Em cada item é obrigatório o esboço da região de integração.
Utilize a transformação x=u^2, y=v^2, z=w^2 para determinar o volume da região limitada pela superfície raizx+raizy+raizz=1 e pelos planos coordenados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume da região que está limitada pela superfície raizx + raizy + raizz = 1 e pelos planos coordenados ( x=0, y=0, z=0). Para isso, vamos usar uma transformação de variáveis: x = u^2, y = v^2, e z = w^2. Isso vai facilitar nossa vida na hora de calcular o volume usando integrais múltiplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como fica a equação da superfície após a transformação. Substituindo x, y e z:
raizu^2 + raizv^2 + raizw^2 = |u| + |v| + |w| = 1
Como estamos trabalhando com planos coordenados e volumes positivos, podemos considerar u, v, w positivos. Então, a equação fica:
u + v + w = 1
Isso define uma região tetraédrica no espaço u,v,w.

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração para u, v e w nessa nova região. Observando u + v + w = 1 e assumindo que u, v, w são positivos, temos:
  • u varia de 0 a 1.
  • Para cada valor de u, v varia de 0 a 1 - u.
  • Para cada par (u, v), w varia de 0 a 1 - u - v.
Então, os limites são:
0 <= u <= 1
0 <= v <= 1 - u
0 <= w <= 1 - u - v

Passo 4

Vamos precisar calcular o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a integral. A transformação é:
x = u^2, y = v^2, z = w^2
A matriz jacobiana J é:
J = partial xpartial u & partial xpartial v & partial xpartial w partial ypartial u & partial ypartial v & partial ypartial w partial zpartial u & partial zpartial v & partial zpartial w = 2u & 0 & 0 0 & 2v & 0 0 & 0 & 2w
O determinante jacobiano |J| é:
|J| = 2u times 2v times 2w = 8uvw

Passo 5

Agora, montamos a integral tripla para calcular o volume na nova variável:
V = integral0^1 integral0^1 - u integral0^1 - u - v 8uvw , dw , dv , du
Vamos resolver a integral passo a passo:
Primeiro, integremos em relação a w:
integral0^1 - u - v 8uvw , dw = 8uv [ w^22 ]0^1 - u - v = 8uv cdot (1 - u - v)^22 = 4uv(1 - u - v)^2
Agora, integremos em relação a v:
integral0^1 - u 4uv(1 - u - v)^2 , dv
Vamos fazer uma substituição t = 1 - u - v, então dt = -dv e quando v = 0, t = 1 - u, e quando v = 1 - u, t = 0:
4u integral1 - u^0 u( t )^2 (-dt) = 4u integral0^1 - u t^2 , dt = 4u cdot t^33 |0^1 - u = 4u3 (1 - u)^3
Finalmente, integremos em relação a u:
integral0^1 4u3 (1 - u)^3 , du
Vamos expandir (1 - u)^3:
(1 - u)^3 = 1 - 3u + 3u^2 - u^3
Então, a integral fica:
43 integral0^1 u (1 - 3u + 3u^2 - u^3) , du = 43 integral0^1 (u - 3u^2 + 3u^3 - u^4) , du
Integrando termo a termo:
43 [ u^22 - 3u^33 + 3u^44 - u^55 ]0^1 = 43 ( 12 - 1 + 34 - 15 )
Calculando dentro dos parênteses:
12 - 1 = -12
-12 + 34 = 14
14 - 15 = 5 - 420 = 120
Então:
V = 43 times 120 = 460 = 115

Resposta

O volume da região é 115 unidades cúbicas.

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