Calcule o valor da seguinte integral, sendo R o quadrilátero delimitado pelas retas y= 1-x, y=1+x, y=x-1 e y=-x-1.
integral duplaR(2+x+y) d x d y

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente precisa calcular
integral duplaR(2+x+y),dx,dy
onde R é o quadrilátero dado pelas retas
y=1-x, y=1+x, y=x-1, y=-x-1
Matéria: Cálculo II (integrais duplas). Vamos precisar de três coisas:
  1. Descrever a forma e os vértices de R.
  2. Usar propriedades de simetria para simplificar a integral de x e y.
  3. Calcular a área do losango formado por R.

Passo 2

Desenhando e identificando R:
  • Interseção de y=1-x com y=1+x x=0,y=1.
  • Interseção de y=1+x com y=-x-1 x=-1,y=0.
  • Interseção de y=-x-1 com y=x-1 x=0,y=-1.
  • Interseção de y=x-1 com y=1-x x=1,y=0.
    Logo os vértices são (0,1),(-1,0),(0,-1),(1,0). Isso é um losango com diagonais verticais e horizontais de comprimento 2.

Passo 3

Propriedade de simetria em integrais duplas:
  • Se f(x,y) é ímpar em x (isto é f(-x,y)=-f(x,y)) e R é simétrico em relação ao eixo y, então
integral duplaRf(x,y),dA=0
  • De modo semelhante, se f(x,y) é ímpar em y e R é simétrico em relação ao eixo x, então
integral duplaRf(x,y),dA=0
Aqui x é ímpar em x e y é ímpar em y, e R é simétrico nos dois eixos. Logo
integral duplaR x,dA = 0, integral duplaR y,dA = 0

Passo 4

Restou só a parte constante 2:
integral duplaR2,dA = 2cdot Área(R) Á
Teoria da área do losango: se as diagonais têm comprimentos d1 e d2,
Área = d1,d22 Á
Aqui d1=2 (vertical) e d2=2 (horizontal), então
Área(R)=2cdot 22=2 Longrightarrow integral duplaR2,dA = 2cdot 2 = 4 Á

Passo 5

Somando as partes:
integral duplaR(2+x+y),dA = integral duplaR2,dA + integral duplaRx,dA + integral duplaRy,dA = 4 + 0 + 0 = 4

Resposta

4

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