Calcule o valor da seguinte integral, sendo
o quadrilátero delimitado pelas retas
.
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente precisa calcular
onde
é o quadrilátero dado pelas retas
Matéria: Cálculo II (integrais duplas). Vamos precisar de três coisas:
- Descrever a forma e os vértices de
. - Usar propriedades de simetria para simplificar a integral de
e . - Calcular a área do losango formado por
.
Passo 2
Desenhando e identificando
:
- Interseção de
com dá . - Interseção de
com dá . - Interseção de
com dá . - Interseção de
com dá .
Logo os vértices são. Isso é um losango com diagonais verticais e horizontais de comprimento 2.
Passo 3
Propriedade de simetria em integrais duplas:
- Se
é ímpar em (isto é ) e é simétrico em relação ao eixo , então
- De modo semelhante, se
é ímpar em e é simétrico em relação ao eixo , então
Aqui
é ímpar em
e
é ímpar em
, e
é simétrico nos dois eixos. Logo
Passo 4
Restou só a parte constante
:
Teoria da área do losango: se as diagonais têm comprimentos
e
,
Aqui
(vertical) e
(horizontal), então
Passo 5
Somando as partes: