Calcule as seguintes integrais iteradas:
integral0^raizpi integralu^raizpi cos (v^2) d v d u

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral0^raizpi integralu^raizpi cos(v^2),dv,du
Aqui o conteúdo é integração iterada e troca de ordem de integração (Teorema de Fubini). Como cos(v^2) não tem primitiva elementar em v, faz sentido inverter a ordem para simplificar.

Passo 2

Definimos a região de integração
D = (u,v)mid 0 <= u <= raizpi,;u <= v <= raizpi
Invertendo a ordem, v varia de 0 a raizpi e, para cada v, u vai de 0 até v. Assim
integral0^raizpi !!integralu^raizpi cos(v^2),dv,du = integralv=0^raizpi !!integralu=0^v cos(v^2),du,dv

Passo 3

No integral interno em u, cos(v^2) é constante, então
integralu=0^v cos(v^2),du = v,cos(v^2)

Passo 4

Fica
integral0^raizpi v,cos(v^2),dv
Usamos a substituição t = v^2, dt = 2v,dv, logo v,dv = tfrac12,dt, com t indo de 0 até pi. Então
integral0^raizpi v,cos(v^2),dv = 12 integral0^pi cos(t),dt

Passo 5

Calculamos
integral0^pi cos(t),dt = sin(t)|0^pi = 0,
portanto
12 integral0^pi cos(t),dt = 0

Resposta

O valor da integral é 0.

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