Seja h(x, y)=ln (25-x^2-y^2)
a) (1.0) Determine e esboce o domínio de h.
b) (1.5) Determine a equaçāo do plano tangente à z=h(x, y) no ponto (2,4).

Passo 1

O enunciado define a função
h(x,y) = lnl(25 - x^2 - y^2r)
e pede:
bul<=t em (a) o domínio de h e seu esboço;
bul<=t em (b) a equação do plano tangente ao gráfico de z = h(x,y) no ponto (2,4).
Para resolver vamos usar a condição de existência do ln (argumento positivo) e o cálculo de derivadas parciais para obter o plano tangente.

Passo 2

O domínio de h vem da condição
25 - x^2 - y^2 > 0,
isto é
x^2 + y^2 < 25
Portanto o domínio é o disco aberto de raio 5 centrado na origem:
D = l(x,y)inR^2 mid x^2 + y^2 < 25r
O esboço é um círculo de raio 5 sem a borda.

Passo 3

Para o plano tangente precisamos das derivadas parciais de h. Usando a regra da cadeia:
partial hpartial x = 125 - x^2 - y^2cdot(-2x) = -2x25 - x^2 - y^2,
partial hpartial y = -2y25 - x^2 - y^2

Passo 4

No ponto (x0,y0)=(2,4) temos
25 - x0^2 - y0^2 = 25 - 4 - 16 = 5,
hx(2,4) = -2cdot25 = -45, hy(2,4) = -2cdot45 = -85,
z0 = h(2,4) = ln(5)

Passo 5

A equação do plano tangente a z = h(x,y) em (2,4,ln(5)) é
z = z0 + hx(2,4),(x-2) + hy(2,4),(y-4)
Substituindo os valores:
z = ln(5) - 45(x - 2) - 85(y - 4)

Resposta

(a) O domínio é (x,y)mid x^2+y^2<25, um disco aberto de raio 5.
(b)
z = ln(5) - 45(x - 2) - 85(y - 4)

Exercícios relacionados