Calcule as seguintes integrais iteradas. Se necessário inverta a ordem de integração.
integral0^1 integraly^13^1 e^yx d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral iterada para calcular:
integral0^1 integraly^13^1 e^yx , dx , dy
Isso significa que primeiro vamos integrar em relação a x de y^1/3 até 1, e depois integrar o resultado em relação a y de 0 até 1. Vamos precisar entender como funcionam as integrais múltiplas e, se necessário, inverter a ordem de integração para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar resolver a integral na ordem dada, ou seja, integrar primeiro em x . A função que vamos integrar é e^yx .
No entanto, integrar e^yx em relação a x não é straightforward, pois a variável y está no expoente e depende de x . Isso torna a integral complicada de resolver diretamente. Por isso, é uma boa ideia tentar inverter a ordem de integração.

Passo 3

Para inverter a ordem de integração, precisamos primeiro entender a região de integração no plano xy .
Originalmente, temos:
  • y vai de 0 a 1.
  • Para cada y , x vai de y^1/3 até 1.
Vamos desenhar isso:
  • Quando y = 0 , x vai de 0 até 1.
  • Quando y = 1 , x vai de 1 até 1 (apenas o ponto x = 1 ).
Então, a região de integração é a área entre x = y^1/3 e x = 1 , para y entre 0 e 1.

Passo 4

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Para isso, precisamos expressar y em termos de x .
A equação x = y^1/3 pode ser reescrita como y = x^3 .
Então, para cada x , y vai de 0 até x^3 .
Além disso, x varia de 0 a 1.
Então, a integral invertida fica:
integral0^1 integral0^x^3 e^yx , dy , dx

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral interna em y :
integral0^x^3 e^yx , dy
Aqui, fazemos uma substituição simples. Deixe u = yx , então du = 1x dy ou dy = x , du .
Quando y = 0 , u = 0 .
Quando y = x^3 , u = x^3x = x^2 .
Substituindo na integral:
integral0^x^2 e^u cdot x , du = x integral0^x^2 e^u , du

Passo 6

Agora, integramos e^u em relação a u :
x [ e^u ]0^x^2 = x ( e^x^2 - e^0 ) = x ( e^x^2 - 1 )
Então, a integral interna resolve para x(e^x^2 - 1) .

Passo 7

Agora, substituímos de volta na integral externa:
integral0^1 x ( e^x^2 - 1 ) , dx = integral0^1 x e^x^2 , dx - integral0^1 x , dx
Vamos resolver cada parte separadamente.

Passo 8

Primeiro, resolvemos integral0^1 x e^x^2 , dx . Aqui, fazemos uma substituição:
Deixe u = x^2 , então du = 2x , dx ou du2 = x , dx .
Quando x = 0 , u = 0 .
Quando x = 1 , u = 1 .
Substituindo na integral:
integral0^1 x e^x^2 , dx = 12 integral0^1 e^u , du = 12 [ e^u ]0^1 = 12 (e^1 - e^0) = 12 (e - 1)

Passo 9

Agora, resolvemos integral0^1 x , dx :
integral0^1 x , dx = [ x^22 ]0^1 = 12 (1^2 - 0^2) = 12

Passo 10

Agora, juntamos os resultados:
integral0^1 x ( e^x^2 - 1 ) , dx = 12 (e - 1) - 12 = 12 e - 1

Resposta

O valor da integral é e2 - 1 .

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