Calcule as seguintes integrais iteradas. Se necessário inverta a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral iterada para calcular:
Isso significa que primeiro vamos integrar em relação a
de
até 1, e depois integrar o resultado em relação a
de 0 até 1. Vamos precisar entender como funcionam as integrais múltiplas e, se necessário, inverter a ordem de integração para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar resolver a integral na ordem dada, ou seja, integrar primeiro em
. A função que vamos integrar é
.
No entanto, integrar
em relação a
não é straightforward, pois a variável
está no expoente e depende de
. Isso torna a integral complicada de resolver diretamente. Por isso, é uma boa ideia tentar inverter a ordem de integração.
Passo 3
Para inverter a ordem de integração, precisamos primeiro entender a região de integração no plano
.
Originalmente, temos:
-
vai de 0 a 1. - Para cada
, vai de até 1.
Vamos desenhar isso:
- Quando
, vai de 0 até 1. - Quando
, vai de 1 até 1 (apenas o ponto ).
Então, a região de integração é a área entre
e
, para
entre 0 e 1.
Passo 4
Agora, vamos inverter a ordem de integração. Para isso, precisamos expressar
em termos de
.
A equação
pode ser reescrita como
.
Então, para cada
,
vai de 0 até
.
Além disso,
varia de 0 a 1.
Então, a integral invertida fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral interna em
:
Aqui, fazemos uma substituição simples. Deixe
, então
ou
.
Quando
,
.
Quando
,
.
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, integramos
em relação a
:
Então, a integral interna resolve para
.
Passo 7
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Vamos resolver cada parte separadamente.
Passo 8
Primeiro, resolvemos
. Aqui, fazemos uma substituição:
Deixe
, então
ou
.
Quando
,
.
Quando
,
.
Substituindo na integral:
Passo 9
Agora, resolvemos
:
Passo 10
Agora, juntamos os resultados:
Resposta
O valor da integral é
.