O chamado paradoxo de Bernoulli é o seguinte:
(-z)^2=z^2 Rightarrow 2 log (-z)=2 log z Rightarrow log (-z)=log z
Aonde está o êrro?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um “paradoxo de Bernoulli” que mostra uma sequência de equações:
(-z)^2=z^2 Rightarrow 2 log (-z)=2 log z Rightarrow log (-z)=log z
O objetivo aqui é descobrir onde está o erro nessa sequência de passos. Para resolver isso, a gente vai precisar entender um pouco sobre propriedades de potências e logaritmos, além de saber sobre os domínios dessas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a primeira igualdade: (-z)^2 = z^2. Isso é verdade porque, quando você eleva um número negativo ao quadrado, o resultado é positivo igual ao quadrado do número positivo correspondente.
Por exemplo, se z = 3, então (-3)^2 = 9 e 3^2 = 9. Então, essa parte está correta.

Passo 3

Agora, a equação passa para 2 log (-z) = 2 log z. Aqui, estamos aplicando o logaritmo em ambos os lados da equação anterior. Mas atenção: o logaritmo de um número negativo não está definido nos números reais.
Em outras palavras, log (-z) não existe se estamos trabalhando com números reais, porque não existe um número real que, elevado a uma certa potência, dá um número negativo.

Passo 4

Seguindo para o próximo passo, dividimos ambos os lados por 2, obtendo log (-z) = log z. Mas aqui já podemos ver o problema: estamos igualando o logaritmo de um número negativo ao logaritmo de um número positivo, o que, como vimos, não faz sentido nos números reais.

Passo 5

Aonde está o erro? O erro acontece no segundo passo, quando tentamos aplicar o logaritmo a ambos os lados da equação (-z)^2 = z^2. Como o logaritmo de um número negativo não é definido nos números reais, essa operação é inválida e leva a conclusões incorretas.

Resposta

O erro está na tentativa de aplicar o logaritmo a um número negativo ( log (-z)), o que não é definido nos números reais. Portanto, o segundo passo da sequência está incorreto.

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