Calcule as seguintes integrais iteradas. Se necessário inverta a ordem de integração.
(a) integral0^1 integral0^pi(1+x) sec ^2 y d y d x
(b) integral0^1 integral0^x(1+x) d y d x
(c) integral0^1 integralx^raizx(2 x-y) d y d x
(d) integral0^1 integraly^1 11+x^4 d x d y
(e) integral-1^3 integralx^2^2 x+3 x d y d x
(f) integral-2^2 integralx^2^4 x^2 y d y d x
(g) integral0^1 integraly^13^1 e^yx d x d y
(h) integral0^pi integralx^pi sen yy d y d x
(i) integral-2015^2015 integral102^999 e^-(x^2+9 y^2) sen(y^11) d x d y
(j) integralD integral xx^2+y^2 d x d y, D=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2 <= 1
(l) integral0^1 integralx^1 sin y^2 d y d x.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de várias integrais iteradas sobre retângulos ou regiões mais gerais, às vezes exigindo a inversão na ordem de integração e uso de coordenadas polares. Vamos aplicar integração direta, troca de ordem e substituições adequadas em cada caso.

Passo 2

Para (a) integral0^1integral0^pi(1+x)sec^2y,dy,dx, integramos em y vendo (1+x) como constante:
integral0^pisec^2y,dy=[tan y]0^pi=tanpi-tan0=0
Logo o valor é 0.

Passo 3

Para (b) integral0^1integral0^x(1+x),dy,dx, integramos em y:
integral0^x(1+x),dy=(1+x),x=x+x^2,
depois em x:
integral0^1(x+x^2),dx=l[tfracx^22+tfracx^33r]0^1=tfrac12+tfrac13=tfrac56

Passo 4

Para (c) integral0^1integralx^raizx(2x-y),dy,dx, integramos em y:
integralx^raizx(2x-y),dy =l[2xy-tfracy^22r]y=x^y=raizx =2xraizx-tfracx2-l(2x^2-tfracx^22r) =2x^3/2-tfrac3x^22-tfracx2
Agora em x:
integral0^1l(2x^3/2-tfrac3x^22-tfracx2r)dx =l[tfrac45x^5/2-tfracx^32-tfracx^24r]0^1 =tfrac45-tfrac12-tfrac14=tfrac120

Passo 5

Para (d) integral0^1integraly^111+x^4,dx,dy, trocamos a ordem: 0<= y<= x<=1. Assim
integral0^1integral0^x11+x^4,dy,dx =integral0^1x1+x^4,dx
Com u=x^2, du=2x,dx, obtemos
integral0^1x1+x^4,dx =tfrac12integral0^111+u^2,du =tfrac12l[arctan ur]0^1 =tfracpi8

Passo 6

Para (e) integral-1^3integralx^2^2x+3x,dy,dx, integramos em y:
integralx^2^2x+3x,dy =xl[(2x+3)-x^2r]=2x^2+3x-x^3
Então
integral-1^3(2x^2+3x-x^3),dx =l[-tfracx^44+tfrac2x^33+tfrac3x^22r]-1^3 =tfrac323

Passo 7

Para (f) integral-2^2integralx^2^4x^2y,dy,dx, integramos em y:
integralx^2^4x^2y,dy =x^2,tfracy^22|y=x^2^y=4 =x^2l(8-tfracx^42r)=8x^2-tfracx^62
Como a função é par, fazemos
2integral0^2l(8x^2-tfracx^62r)dx =2l[tfrac8x^33-tfracx^714r]0^2 =tfrac51221

Passo 8

Para (g) integral0^1integraly^1/3^1e^y/x,dx,dy, invertendo a ordem:
0<= y<=1, y^1/3<= x<=1 Longrightarrow 0<= x<=1,;0<= y<= x^3
Então
integral0^1integral0^x^3e^y/x,dy,dx =integral0^1xl[e^y/xr]0^x^3dx =integral0^1xl(e^x^2-1r),dx =tfrac12l[e^x^2r]0^1-tfrac12 =tfrace-22

Passo 9

Para (h) integral0^piintegralx^pisin yy,dy,dx, invertemos:
0<= x<= y<=pi Longrightarrow 0<= y<=pi,;0<= x<= y
Isso dá
integral0^piintegral0^ydx,sin yy,dy =integral0^pisin y,dy =[-cos y]0^pi=2

Passo 10

Para (i) , note que em não há dependência de exceto no fator externo, e o intervalo em é simétrico:

Passo 11

Para (j) integral duplaDxx^2+y^2,dx,dy com D:x^2+y^2<=1, usamos coordenadas polares:
x=rcostheta, y=rsintheta, dx,dy=r,dr,dtheta,
xx^2+y^2,dx,dy =rcosthetar^2,r,dr,dtheta =costheta,dr,dtheta
Assim
integral0^2piintegral0^1costheta,dr,dtheta =integral0^1drintegral0^2picostheta,dtheta =0

Passo 12

Para (l) integral0^1integralx^1sin(y^2),dy,dx, trocamos:
0<= x<= y<=1 Longrightarrow 0<= y<=1,;0<= x<= y,
integral0^1integral0^ydx,sin(y^2),dy =integral0^1ysin(y^2),dy
Com u=y^2, du=2y,dy:
integral0^1ysin(y^2),dy =tfrac12integral0^1sin u,du =tfrac12[1-cos1]

Resposta

(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(l)

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