Utilizando integrais duplas, determine o volume dos sólidos a seguir:
(a) abaixo do plano z=1+x+y e acima da região limitada por x=0, x=1, y=0 e y=1.
(b) delimitado por x^2+z^2=9, z=2 x, y=0, y=20 e z=0 e compreendido entre elas no primeiro quadrante.
© delimitado por x^2+z^2=9, y=2 x, z=0 e y=0 no primeiro octante.
(d) abaixo do cilindro z=x^2 e acima da região do plano delimitada por y=x^2 e y=1.
(e) abaixo de z=y+e^x e acima da região do plano delimitada e compreendida entre x=0, x=1, y=0 e y=2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular volumes de cinco sólidos usando integrais duplas. Em cada caso vamos identificar a região de projeção no plano adequado, escrever a integral do topo menos o fundo e avaliá-la passo a passo.

Passo 2

No item (a) a região R é o quadrado 0≤x≤1, 0≤y≤1, e o sólido fica abaixo de z=1+x+y acima do plano z=0. Montamos
Va=integral duplaR(1+x+y),dA=integral0^1integral0^1(1+x+y),dy,dx
Avalia-mos primeiro em y:
integral0^1(1+x+y),dy=(1+x)y+tfracy^22|0^1=1+x+tfrac12,
e depois em x:
Va=integral0^1l(tfrac32+xr)dx=tfrac32x+tfracx^22|0^1=2

Passo 3

No item (b) o sólido está entre y=0 e y=20, e a base no plano xz é a região fechada pelas curvas z=0, z=2x e x2+z2=9 no primeiro quadrante. Como a dependência em y é simples,
Vb=integral0^20Axz,dy=20cdot Axz
Para achar A_{xz} usamos coordenadas polares x=r\cosθ, z=r\sinθ com r de 0 a 3 e θ de 0 a arctan(2):
Axz=integral0^arctan(2)integral0^3r,dr,dθ=92arctan(2)
Logo
Vb=20cdot92arctan(2)=90arctan(2)

Passo 4

No item © a base está no mesmo disco de raio 3 no xz no primeiro quadrante, e para cada (x,z) o y varia de 0 a 2x. Então
Vc=integral duplax^2+z^2<=9,,x,z>=0(2x),dAxz
Em polares x=r\cosθ, z=r\sinθ, 0≤r≤3, 0≤θ≤π/2:
[
V_c=\int_{0}{\pi/2}\int_{0}{3}2(r\cosθ),r,dr,dθ=2\int_{0}{\pi/2}\cosθ,dθ\int_{0}{3}r^2,dr
=18\bigl[\sinθ\bigr]_0^{\pi/2}=18.

Passo 5

No item (d) a projeção R no plano xy é o laço entre y=x^2 e y=1 (com x variando de -√y a +√y, 0≤y≤1) e o sólido está abaixo de z=x^2 acima de z=0. Assim
Vd=integral duplaR x^2,dA=integral0^1integral-raizy^raizyx^2,dx,dy
Calculamos em x:
integral-raizy^raizyx^2,dx=2y^3/23,
pela simetria, e depois em y:
Vd=integral0^12y^3/23,dy=23cdot25=415

Passo 6

No item (e) a região é o retângulo 0≤x≤1, 0≤y≤2, e o sólido está abaixo de z=y+e^x acima de z=0. Então
Ve=integral0^1integral0^2(y+e^x),dy,dx
Em y:
integral0^2(y+e^x),dy=l(tfracy^22+ye^xr)0^2=2+2e^x,
e em x:
Ve=integral0^1(2+2e^x),dx=2x+2e^x|0^1=2e

Resposta

V_a=2, V_b=90\arctan(2), V_c=18, V_d=4/15, V_e=2e

Exercícios relacionados