Utilizando integrais duplas, determine o volume dos sólidos a seguir:
(a) abaixo do plano
e acima da região limitada por
e
.
(b) delimitado por
e
e compreendido entre elas no primeiro quadrante.
© delimitado por
e
no primeiro octante.
(d) abaixo do cilindro
e acima da região do plano delimitada por
e
.
(e) abaixo de
e acima da região do plano delimitada e compreendida entre
e
.
(a) abaixo do plano
(b) delimitado por
© delimitado por
(d) abaixo do cilindro
(e) abaixo de
Passo 1
O enunciado pede para calcular volumes de cinco sólidos usando integrais duplas. Em cada caso vamos identificar a região de projeção no plano adequado, escrever a integral do topo menos o fundo e avaliá-la passo a passo.
Passo 2
No item (a) a região R é o quadrado 0≤x≤1, 0≤y≤1, e o sólido fica abaixo de z=1+x+y acima do plano z=0. Montamos
Avalia-mos primeiro em y:
e depois em x:
Passo 3
No item (b) o sólido está entre y=0 e y=20, e a base no plano xz é a região fechada pelas curvas z=0, z=2x e x2+z2=9 no primeiro quadrante. Como a dependência em y é simples,
Para achar A_{xz} usamos coordenadas polares x=r\cosθ, z=r\sinθ com r de 0 a 3 e θ de 0 a arctan(2):
Logo
Passo 4
No item © a base está no mesmo disco de raio 3 no xz no primeiro quadrante, e para cada (x,z) o y varia de 0 a 2x. Então
Em polares x=r\cosθ, z=r\sinθ, 0≤r≤3, 0≤θ≤π/2:
[
V_c=\int_{0}{\pi/2}\int_{0}{3}2(r\cosθ),r,dr,dθ=2\int_{0}{\pi/2}\cosθ,dθ\int_{0}{3}r^2,dr
=18\bigl[\sinθ\bigr]_0^{\pi/2}=18.
V_c=\int_{0}{\pi/2}\int_{0}{3}2(r\cosθ),r,dr,dθ=2\int_{0}{\pi/2}\cosθ,dθ\int_{0}{3}r^2,dr
=18\bigl[\sinθ\bigr]_0^{\pi/2}=18.
Passo 5
No item (d) a projeção R no plano xy é o laço entre y=x^2 e y=1 (com x variando de -√y a +√y, 0≤y≤1) e o sólido está abaixo de z=x^2 acima de z=0. Assim
Calculamos em x:
pela simetria, e depois em y:
Passo 6
No item (e) a região é o retângulo 0≤x≤1, 0≤y≤2, e o sólido está abaixo de z=y+e^x acima de z=0. Então
Em y:
e em x:
Resposta
V_a=2, V_b=90\arctan(2), V_c=18, V_d=4/15, V_e=2e