Determine o ângulo entre os vetores u=(4,3) e v=(2,-1).
cos ^-1(1 / raiz5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o ângulo entre os vetores u = (4, 3) e v = (2, -1). Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto escalar e norma dos vetores da matemática, que nos ajudam a encontrar o ângulo entre dois vetores no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar entre os vetores u e v. O produto escalar é dado por:
u cdot v = ux cdot vx + uy cdot vy
Substituindo os valores:
u cdot v = 4 cdot 2 + 3 cdot (-1) = 8 - 3 = 5

Passo 3

Agora, vamos encontrar a norma (ou comprimento) de cada vetor. A norma de um vetor w = (wx, wy) é calculada por:
|w| = raizwx^2 + wy^2
Para u:
|u| = raiz4^2 + 3^2 = raiz16 + 9 = raiz25 = 5
Para v:
|v| = raiz2^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 = raiz5

Passo 4

Com o produto escalar e as normas calculadas, podemos usar a fórmula para encontrar o cosseno do ângulo entre os dois vetores:
cos(theta) = u cdot v|u| cdot |v|
Substituindo os valores que encontramos:
cos(theta) = 55 cdot raiz5 = 1raiz5

Resposta

Portanto, o ângulo entre os vetores u e v é:
theta = cos^-1(1raiz5)

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