• Calcule as seguintes integrais. Justifique a sua resposta.
    integral(e^x+e^-x2) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem para resolver uma integral que é a seguinte:
integral ( e^x + e^-x2 ) dx
Esse exercício faz parte do estudo de cálculo integral, mais especificamente da integração de funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções exponenciais e a propriedade da linearidade da integral, que permite separar a integral de uma soma em soma das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos:
e^x + e^-x2
Isso pode ser visto como a média de e^x e e^-x . Vamos reescrever a integral separando os termos:
integral ( e^x2 + e^-x2 ) dx

Passo 3

Agora, usamos a propriedade da linearidade da integral, que nos permite separar a integral de uma soma em soma das integrais individuais:
integral e^x2 dx + integral e^-x2 dx

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente. Primeiro, a integral de e^x2 :
Sabemos que a integral de e^x em relação a x é e^x . Então, multiplicando por 12 :
integral e^x2 dx = 12 e^x + C1

Passo 5

Agora, vamos integrar o segundo termo e^-x2 :
A integral de e^-x em relação a x é -e^-x . Então, multiplicando por 12 :
integral e^-x2 dx = -12 e^-x + C2

Passo 6

Juntando as duas integrais, temos:
12 e^x - 12 e^-x + C
Onde C = C1 + C2 é a constante de integração geral.

Resposta

Portanto, a integral de e^x + e^-x2 em relação a x é:
e^x - e^-x2 + C

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