- Calcule as seguintes integrais. Justifique a sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem para resolver uma integral que é a seguinte:
Esse exercício faz parte do estudo de cálculo integral, mais especificamente da integração de funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções exponenciais e a propriedade da linearidade da integral, que permite separar a integral de uma soma em soma das integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos:
Isso pode ser visto como a média de
e
. Vamos reescrever a integral separando os termos:
Passo 3
Agora, usamos a propriedade da linearidade da integral, que nos permite separar a integral de uma soma em soma das integrais individuais:
Passo 4
Vamos integrar cada termo separadamente. Primeiro, a integral de
:
Sabemos que a integral de
em relação a
é
. Então, multiplicando por
:
Passo 5
Agora, vamos integrar o segundo termo
:
A integral de
em relação a
é
. Então, multiplicando por
:
Passo 6
Juntando as duas integrais, temos:
Onde
é a constante de integração geral.
Resposta
Portanto, a integral de
em relação a
é: