• Calcule as seguintes integrais. Justifique a sua resposta.
    integral0^2(3 x+1)^5 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
Esse é um caso clássico de substituição em integrais de funções compostas do tipo \((ax+b)^n\). Vamos usar a técnica de mudança de variável.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 3x + 1
Então, ao derivar em relação a x, temos
du = 3,dx Longrightarrow dx = du3

Passo 3

Precisamos também transformar os limites de integração. Quando x=0,
u = 3cdot0 + 1 = 1
Quando x=2,
u = 3cdot2 + 1 = 7
Assim a integral em x de 0 a 2 vira uma integral em u de 1 a 7.

Passo 4

Substituindo na integral original:
integral0^2(3x+1)^5,dx = integralu=1^u=7u^5,du3 = 13integral1^7u^5,du
Agora integramos u^5 usando a regra integral u^ndu = u^n+1/(n+1):
integral1^7u^5,du = [u^66]1^7 = 7^6-1^66 = 7^6-16

Passo 5

Voltando ao fator tfrac13:
13cdot 7^6-16 = 7^6-118
Como 7^6=117649, temos
7^6-1 = 117649-1 = 117648,
então
integral0^2(3x+1)^5,dx = 11764818 = 6536

Resposta

boxed6536

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