Calcule os seguintes limites, caso existam:
lim x 0^+ sen xx^3-x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto0^+sen xx^3-x^2
O conteúdo principal é análise de limite de função que tende a forma tfrac00, e vamos usar fatoração e a aproximação clássica sen xsim x quando xto0.

Passo 2

Observe o denominador e fatore:
x^3-x^2=x^2(x-1)
Portanto a expressão fica
sen xx^3-x^2 =sen xx^2(x-1) =sen xx;cdot;1x(x-1)

Passo 3

Sabemos que, quando xto0, vale o limite fundamental
limxto0sen xx=1

Passo 4

Agora analisamos
1x(x-1) quando xto0^+
Para x pequeno positivo, x-1approx -1 e x(x-1)approx -x. Logo a fração tende a
1x(x-1)sim1-x=-1x,
que, ao fazermos xto0^+, diverge para -infty.

Passo 5

Como o produto de um limite finito lim(sen x/x)=1 por um limite que diverge para -infty também diverge para -infty, concluímos que
limxto0^+sen xx^3-x^2=-infty

Resposta

O limite não existe como número real; ele diverge para -infty.

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