• Calcule as seguintes integrais. Justifique a sua resposta.
    integral sen^3 x d x

Passo 1

Beleza, a gente tem que calcular a integral de sin^3 x em relação a x. Isso faz parte do estudo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever sin^3 x de uma forma que facilite a integração. Sabemos que podemos dividir o sin^3 x em sin x cdot sin^2 x. E, lembrando da identidade trigonométrica sin^2 x = 1 - cos^2 x, podemos substituir:
sin^3 x = sin x cdot (1 - cos^2 x)

Passo 3

Agora, a gente tem:
integral sin^3 x , dx = integral sin x (1 - cos^2 x) , dx
Vamos usar uma substituição para facilitar. Vamos chamar u = cos x. Então, a derivada de u em relação a x é:
du = -sin x , dx Rightarrow -du = sin x , dx

Passo 4

Substituindo na integral, ficamos com:
integral sin x (1 - cos^2 x) , dx = -integral (1 - u^2) , du

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
-integral (1 - u^2) , du = -( integral 1 , du - integral u^2 , du ) = -( u - u^33 ) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, voltamos a substituir u = cos x:
-( cos x - cos^3 x3 ) + C = -cos x + cos^3 x3 + C

Resposta

A integral de sin^3 x , dx é:
-cos x + cos^3 x3 + C

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