• Calcule as seguintes integrais. Justifique a sua resposta.
    integral x^2 e^x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x^2 e^x dx. Esse exercício está na área do Cálculo Integral e envolve integrar o produto de uma função polinomial ( x^2) com uma função exponencial ( e^x). Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é integração por partes. É uma fórmula que nos ajuda a integrar produtos de duas funções e é baseada na regra do produto da derivada. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, você escolhe partes da função para serem u e dv, de forma que a integral resultante seja mais fácil de resolver.

Passo 3

Vamos aplicar a integração por partes na nossa integral integral x^2 e^x dx. Precisamos escolher u e dv:
  • Escolha 1:
u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx
dv = e^x dx Rightarrow v = e^x
Agora, aplicando a fórmula:
integral x^2 e^x dx = x^2 e^x - integral e^x cdot 2x , dx

Passo 4

A nova integral que precisamos resolver é integral 2x e^x dx. Vamos novamente usar integração por partes nessa integral.
  • Escolha 2:
u = 2x Rightarrow du = 2 , dx
dv = e^x dx Rightarrow v = e^x
Aplicando a fórmula novamente:
integral 2x e^x dx = 2x e^x - integral e^x cdot 2 , dx = 2x e^x - 2 integral e^x dx
Sabemos que integral e^x dx = e^x, então:
integral 2x e^x dx = 2x e^x - 2e^x

Passo 5

Voltando à nossa primeira aplicação da integração por partes, substituímos a integral resolvida:
integral x^2 e^x dx = x^2 e^x - (2x e^x - 2e^x) = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x

Resposta

A integral integral x^2 e^x dx é igual a:
x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C
Onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados