Estude o sinal das expressões
(2 x-1)(x-2)

Passo 1

O enunciado pede para estudar o sinal da expressão
(2x-1)(x-2)
ou seja, determinar para quais valores de x ela é positiva, negativa ou nula. O conteúdo envolvido é o estudo de sinais de um produto de fatores lineares: primeiro a gente encontra as raízes (onde cada fator zera), depois divide a reta em intervalos e testa o sinal em cada um deles.

Passo 2

Vamos achar as raízes de cada fator:
2x - 1 = 0 implies x = tfrac12
x - 2 = 0 implies x = 2

Passo 3

Isso nos dá três intervalos para analisar na reta real:
-infty < x < tfrac12, tfrac12 < x < 2 e x > 2. Em cada intervalo, determinamos o sinal de 2x-1 e de x-2:
  • Se x < tfrac12, então 2x-1<0 e x-2<0.
  • Se tfrac12 < x < 2, então 2x-1>0 e x-2<0.
  • Se x > 2, então 2x-1>0 e x-2>0.

Passo 4

Agora o sinal do produto (2x-1)(x-2) é dado pelo produto dos sinais dos fatores:
  • Em x<tfrac12: (-)cdot(-) = (+).
  • Em tfrac12<x<2: (+)cdot(-) = (-).
  • Em x>2: (+)cdot(+) = (+).

Passo 5

Portanto, juntando tudo:
(2x-1)(x-2)>0 para xin(-infty,tfrac12)cup(2,infty),
(2x-1)(x-2)<0 para xin(tfrac12,2),
e
(2x-1)(x-2)=0 em x=tfrac12 ou x=2

Resposta

(2x-1)(x-2)>0 se xin(-infty,tfrac12)cup(2,infty);
(2x-1)(x-2)<0 se xin(tfrac12,2);
(2x-1)(x-2)=0 em x=tfrac12 ou x=2.

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