Dada uma função
e
, se para uma sequência
tal que
, com
vale que
não converge então
não existe.
Demonstre a afirmação.
Demonstre a afirmação.
Passo 1
O enunciado afirma que, se existe uma sequência
com
e
tal que
não converge, então
não existe.
O conteúdo que vamos usar é a definição ,-,
de limite de função em um ponto e a sua equivalência com a caracterização sequencial:
O conteúdo que vamos usar é a definição
Passo 2
Vamos provar a afirmação mostrando a contrária (contrapositiva) da equivalência acima:
“Se existe (igual a algum
), então para toda sequência
com
vale
.”
Se essa implicação é verdadeira, basta notar que, no enunciado, há uma sequência para a qual não converge, o que impede a existência de qualquer limite.
“Se
Se essa implicação é verdadeira, basta notar que, no enunciado, há uma sequência para a qual
Passo 3
Suponha que
exista.
Pela definição ,-,
, para todo
existe
tal que
Pela definição
Como
, existe
tal que, para todo
,
.
Logo, para todo temos
. Isso mostra que
.
Logo, para todo
Mas isso contradiz a hipótese de que
não converge. Portanto a suposição de que
existisse é falsa.
Resposta
A existência de uma sequência
com
não convergente impede que
exista.