Dada uma função f: R R e x0 in R, se para uma sequência (xn) tal que xn x0, com xn neq x0 vale que (f(xn)) não converge então lim x x0 f(x) não existe.
Demonstre a afirmação.

Passo 1

O enunciado afirma que, se existe uma sequência l(xnr) com xnto x0 e xnneq x0 tal que l(f(xn)r) não converge, então limxto x0f(x) não existe.
O conteúdo que vamos usar é a definição varepsilon,-, de<a de limite de função em um ponto e a sua equivalência com a caracterização sequencial:
limxto x0f(x)=L Long<=ftrightarrow para toda sequência xnto x0 (xnneq x0) va<= f(xn)to L ê

Passo 2

Vamos provar a afirmação mostrando a contrária (contrapositiva) da equivalência acima:
“Se limxto x0f(x) existe (igual a algum L), então para toda sequência xnto x0 com xnneq x0 vale f(xn)to L.”
Se essa implicação é verdadeira, basta notar que, no enunciado, há uma sequência para a qual f(xn) não converge, o que impede a existência de qualquer limite.

Passo 3

Suponha que limxto x0f(x)=L exista.
Pela definição varepsilon,-, de<a, para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que
0<lvert x - x0rvert<de<a Longrightarrow lvert f(x)-Lrvert<varepsilon
Como xnto x0, existe N tal que, para todo n>= N, lvert xn - x0rvert<de<a.
Logo, para todo n>= N temos lvert f(xn)-Lrvert<varepsilon. Isso mostra que f(xn)to L.
Mas isso contradiz a hipótese de que l(f(xn)r) não converge. Portanto a suposição de que limxto x0f(x) existisse é falsa.

Resposta

A existência de uma sequência xnto x0 com f(xn) não convergente impede que limxto x0f(x) exista.

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