- Calcule as seguintes integrais. Justifique a sua resposta.
Passo 1
Vamos resolver a integral
. O assunto principal aqui é cálculo de integrais, especificamente usando o método de integração por partes. Para resolver essa integral, vamos precisar identificar partes da função que serão usadas na fórmula de integração por partes.
Passo 2
A integração por partes é baseada na fórmula:
Precisamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
. A escolha certa facilita a resolução.
Passo 3
Vamos escolher:
-
(porque sua derivada é mais simples) -
Agora, calculamos
e
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
,
:
Passo 5
Simplificando a integral restante:
Calculando a integral:
Passo 6
Voltando à expressão principal:
Podemos fatorar
:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.