• Calcule as seguintes integrais. Justifique a sua resposta.
    integral x^2 ln x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral x^2 ln x , dx. O assunto principal aqui é cálculo de integrais, especificamente usando o método de integração por partes. Para resolver essa integral, vamos precisar identificar partes da função que serão usadas na fórmula de integração por partes.

Passo 2

A integração por partes é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u e dv. A escolha certa facilita a resolução.

Passo 3

Vamos escolher:
  • u = ln x (porque sua derivada é mais simples)
  • dv = x^2 , dx
Agora, calculamos du e v :
du = 1x , dx
v = integral x^2 , dx = x^33

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x^2 ln x , dx = uv - integral v , du
Substituindo u , v , du :
= ln x cdot x^33 - integral x^33 cdot 1x , dx

Passo 5

Simplificando a integral restante:
integral x^33 cdot 1x , dx = integral x^23 , dx = 13 integral x^2 , dx
Calculando a integral:
13 cdot x^33 = x^39

Passo 6

Voltando à expressão principal:
integral x^2 ln x , dx = x^3 ln x3 - x^39 + C
Podemos fatorar x^33 :
= x^33 ( ln x - 13 ) + C

Resposta

A integral integral x^2 ln x , dx é igual a:
x^33 ( ln x - 13 ) + C
onde C é a constante de integração.

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