• Calcule as seguintes integrais. Justifique a sua resposta.
    integral 2 x-3(x-1)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício pede pra calcular a integral de 2x - 3(x - 1)^3 em relação a x. Vamos precisar usar técnicas de integração que envolvem frações algébricas, especificamente a integração por substituição. Basicamente, vamos simplificar essa expressão para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a fração 2x - 3(x - 1)^3. Olha só, podemos escrever o numerador 2x - 3 de uma maneira que envolva x - 1, porque isso vai ajudar na substituição. Vamos reescrever 2x - 3 assim:
2x - 3 = 2(x - 1) - 1
Isso porque 2(x - 1) - 1 = 2x - 2 - 1 = 2x - 3. Então, agora nossa integral fica:
integral 2(x - 1) - 1(x - 1)^3 dx

Passo 3

Agora, vamos separar a fração em duas partes para facilitar a integração:
integral ( 2(x - 1)(x - 1)^3 - 1(x - 1)^3 ) dx
Simplificando cada termo:
integral ( 2(x - 1)^2 - 1(x - 1)^3 ) dx

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Sabemos que a integral de (x - a)^n em relação a x é (x - a)^n+1n+1 + C, onde C é a constante de integração, desde que n neq -1.
Aplicando isso aos nossos termos:
  1. Para 2(x - 1)^2, temos n = -2:
integral 2(x - 1)^2 dx = 2 cdot (x - 1)^-2 + 1-2 + 1 = 2 cdot (x - 1)^-1-1 = -2 cdot 1x - 1
  1. Para 1(x - 1)^3, temos n = -3:
integral 1(x - 1)^3 dx = (x - 1)^-3 + 1-3 + 1 = (x - 1)^-2-2 = -12 cdot 1(x - 1)^2

Passo 5

Juntando as integrais que calculamos:
-2 cdot 1x - 1 - 12 cdot 1(x - 1)^2 + C
Podemos simplificar deixando a expressão mais bonita:
-2x - 1 - 12(x - 1)^2 + C

Resposta

A integral de 2x - 3(x - 1)^3 em relação a x é:
-2x - 1 - 12(x - 1)^2 + C

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