- Calcule as seguintes integrais. Justifique a sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício pede pra calcular a integral de
em relação a
. Vamos precisar usar técnicas de integração que envolvem frações algébricas, especificamente a integração por substituição. Basicamente, vamos simplificar essa expressão para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a fração
. Olha só, podemos escrever o numerador
de uma maneira que envolva
, porque isso vai ajudar na substituição. Vamos reescrever
assim:
Isso porque
. Então, agora nossa integral fica:
Passo 3
Agora, vamos separar a fração em duas partes para facilitar a integração:
Simplificando cada termo:
Passo 4
Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Sabemos que a integral de
em relação a
é
, onde
é a constante de integração, desde que
.
Aplicando isso aos nossos termos:
- Para
, temos :
- Para
, temos :
Passo 5
Juntando as integrais que calculamos:
Podemos simplificar deixando a expressão mais bonita:
Resposta
A integral de
em relação a
é: