• Calcule as seguintes integrais. Justifique a sua resposta.
    integral 1x^2-9 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral 1x^2-9,dx. O conteúdo aqui é integração de funções racionais usando frações parciais: precisamos fatorar o denominador e decompor em termos simples antes de integrar.

Passo 2

O denominador fatora como x^2-9=(x-3)(x+3). Então supomos a decomposição em frações parciais:
1x^2-9=Ax-3+Bx+3

Passo 3

Multiplicando em comum denominador, temos
1 = A(x+3)+B(x-3)

Passo 4

Para determinar A e B, igualamos coeficientes. De A(x+3)+B(x-3)= (A+B)x + (3A-3B) queremos (A+B)=0 e 3A-3B=1. Resolvendo o sistema:
A+B=0 3A-3B=1 Longrightarrow A=tfrac16 B=-tfrac16

Passo 5

Substituindo na integral, fica
integral 1x^2-9,dx = integral l(tfrac161x-3-tfrac161x+3r)dx

Passo 6

Como integral 1x-a,dx=ln|x-a|+C, obtemos
16ln|x-3| - 16ln|x+3| + C Podemos combinar os logaritmos numa única expressão:
16lnl|x-3x+3r| + C

Resposta

integral 1x^2-9,dx = 16lnl|x-3x+3r| + C

Exercícios relacionados