Dada uma função f: R R e x0 in R, se para uma sequência (xn) tal que xn x0, com xn neq x0 vale que (f(xn)) não converge então lim x x0 f(x) não existe.
Dê um contraexemplo para a afirmação falsa e modifique as hipóteses para que ela se torne verdadeira. Não é necessário provar essa nova afirmação verdadeira.

Passo 1

O enunciado trata da caracterização sequencial de limite de função: ele afirma falsamente que “se existe uma sequência (xn) com xnto x0 e f(xn) converge, então limxto x0f(x) existe”. Vamos dar um contraexemplo que mostra que ter apenas uma sequência que dá convergência de f(xn) não basta para garantir que o limite exista.

Passo 2

Definimos
f(x)= sinl(tfrac1xr),&xneq0, 0,&x=0
Tomamos xn = tfrac12pi n. Então ,xnto0 e
f(xn)=sin(2pi n)=0
para todo n, logo l(f(xn)r) converge (ao valor 0).
Porém sabe-se que limxto0sin(1/x) não existe, pois se aproximamos de 0 por outras sequências, como xn'=tfrac1(2n+1)pi/2, obtemos f(xn')=pm1 e não há limite único.

Passo 3

O que falha no enunciado é usar “existe uma sequência” em vez de “toda sequência”. A forma correta (e verdadeira) é:
“Se para toda sequência (xn) com xnto x0 e xnneq x0 vale que l(f(xn)r) converge ao mesmo valor L, então
limxto x0f(x)=L

Resposta

Contraexemplo: f(x)=sin(1/x) (e f(0)=0) junto com xn=1/(2pi n).
Hipótese corrigida: trocar “para uma sequência” por “para toda sequência” e exigir convergência ao mesmo L.

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