Dada uma função e , se para uma sequência tal que , com vale que não converge então não existe.
Dê um contraexemplo para a afirmação falsa e modifique as hipóteses para que ela se torne verdadeira. Não é necessário provar essa nova afirmação verdadeira.
Passo 1
O enunciado trata da caracterização sequencial de limite de função: ele afirma falsamente que “se existe uma sequência com e converge, então existe”. Vamos dar um contraexemplo que mostra que ter apenas uma sequência que dá convergência de não basta para garantir que o limite exista.
Passo 2
Definimos
Tomamos xn = tfrac12pi n. Então ,xnto0 e
f(xn)=sin(2pi n)=0
para todo n, logo l(f(xn)r) converge (ao valor 0).
Porém sabe-se que limxto0sin(1/x)não existe, pois se aproximamos de 0 por outras sequências, como xn'=tfrac1(2n+1)pi/2, obtemos f(xn')=pm1 e não há limite único.
Passo 3
O que falha no enunciado é usar “existe uma sequência” em vez de “toda sequência”. A forma correta (e verdadeira) é:
“Se para toda sequência (xn) com xnto x0 e xnneq x0 vale que l(f(xn)r) converge ao mesmo valor L, então
limxto x0f(x)=L ”
Resposta
Contraexemplo: f(x)=sin(1/x) (e f(0)=0) junto com xn=1/(2pi n).
Hipótese corrigida: trocar “para uma sequência” por “para toda sequência” e exigir convergência ao mesmoL.