Não existe nenhuma função f: R R que seja descontínua em todos os pontos de seu domínio.
Demonstre a afirmação.

Passo 1

O enunciado afirma que “não existe nenhuma função f:RtoR que seja descontínua em todos os pontos de seu domínio”. Para provar que tal afirmação é falsa, basta apresentar uma função que seja de fato descontínua em todo ainR. Ou seja, usaremos prova por contraexemplo.

Passo 2

Definimos a clássica função de Dirichlet
f(x)= 1, & se xinQ, 0, & se xnotinQ
Aqui Q é o conjunto dos números racionais e RsetminusQ é o conjunto dos irracionais.

Passo 3

Mostremos que f é descontínua em qualquer ponto ainR. Seja varepsilon=tfrac12. Dado qualquer de<a>0, o intervalo (a-de<a,a+de<a) contém sempre números racionais e irracionais. Logo existem xin(a-de<a,a+de<a)capQ com f(x)=1 e yin(a-de<a,a+de<a)cap(RsetminusQ) com f(y)=0. Portanto
|f(x)-f(a)|>=|1-0|=1>tfrac12 ou |f(y)-f(a)|>=|0-1|=1>tfrac12,
independente do valor de f(a). Isso impede que limxto af(x)=f(a), ou seja, f não é contínua em a. Como a era arbitrário, f é descontínua em todos os pontos.

Resposta

A afirmação dada é falsa. A função de Dirichlet acima é um contraexemplo: ela é descontínua em todo R.

Exercícios relacionados