Calcule as seguintes integrais de linha ao longo do caminho indicado:
integralC x y d s ; C: x=t, y=t ; 0 <= t <= 1;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral de linha, que é tipo somar valores ao longo de um caminho específico. O enunciado é:
integralC x y , d s
onde o caminho é dado por e para . Isso significa que a gente vai caminhar do ponto até em uma linha reta. Para resolver isso, vamos precisar saber como parametrizar o caminho e usar a fórmula da integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o caminho r(t) = lang<= t, t rang<= . Como e , podemos escrever o vetor posição como:
Isso significa que para cada valor de entre 0 e 1, a gente tem um ponto no caminho.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar r'(t) = lang<= dxdt, dydt rang<= = lang<= 1, 1 rang<= , que representa um pedacinho infinitesimal do caminho. Para isso, calculamos a derivada de d s = | r'(t) | , dt = raiz1^2 + 1^2 , dt = raiz2 , dt em relação a :
A magnitude dessa derivada nos dá :

Passo 4

Agora, vamos substituir tudo na integral original. Sabemos que integralC x y , d s = integral0^1 t^2 cdot raiz2 , dt e , então . Substituindo na integral:

Passo 5

Vamos simplificar a integral. Como raiz2 integral0^1 t^2 , dt é constante, ela pode sair da integral:
integral t^2 , dt = t^33
A integral de é bem direta:

Passo 6

A gente avalia a integral de 0 a 1:
raiz2 [ 1^33 - 0^33 ] = raiz2 ( 13 - 0 ) = raiz23

Resposta

A integral de linha vale .

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