Calcule as seguintes integrais de linha ao longo do caminho indicado:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral de linha, que é tipo somar valores ao longo de um caminho específico. O enunciado é:
onde o caminho
é dado por
e
para
. Isso significa que a gente vai caminhar do ponto
até
em uma linha reta. Para resolver isso, vamos precisar saber como parametrizar o caminho e usar a fórmula da integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o caminho
. Como
e
, podemos escrever o vetor posição como:
Isso significa que para cada valor de
entre 0 e 1, a gente tem um ponto no caminho.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
, que representa um pedacinho infinitesimal do caminho. Para isso, calculamos a derivada de
em relação a
:
A magnitude dessa derivada nos dá
:
Passo 4
Agora, vamos substituir tudo na integral original. Sabemos que
e
, então
. Substituindo na integral:
Passo 5
Vamos simplificar a integral. Como
é constante, ela pode sair da integral:
A integral de
é bem direta:
Passo 6
A gente avalia a integral de 0 a 1:
Resposta
A integral de linha vale
.