Calcule as seguintes integrais de linha ao longo do caminho indicado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral de linha, que é tipo somar valores ao longo de um caminho. O caminho aqui é um círculo com equação
. A expressão que vamos integrar é
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas sobre a área dentro do caminho.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que o Teorema de Green diz. Ele transforma a integral de linha em uma integral dupla. A fórmula é:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais que precisamos:
Agora, substituímos na fórmula do Teorema de Green:
Passo 4
Então, a integral dupla fica:
Como
e
são constantes, podemos simplificar para:
Agora, precisamos calcular a área
que é o interior do círculo de raio 2.
Passo 5
A área de um círculo é
. Aqui,
, então:
Substituindo de volta na expressão:
Resposta
A integral de linha vale
.