Calcule as seguintes integrais de linha ao longo do caminho indicado:
ointC(a x+b y) d x+(m x+n y) d y ; C: x^2+y^2=4 ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral de linha, que é tipo somar valores ao longo de um caminho. O caminho aqui é um círculo com equação . A expressão que vamos integrar é . Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas sobre a área dentro do caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que o Teorema de Green diz. Ele transforma a integral de linha em uma integral dupla. A fórmula é:
ointC P dx + Q dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais que precisamos:
partial Qpartial x = partialpartial x (m x + n y) = m
partial Ppartial y = partialpartial y (a x + b y) = b
Agora, substituímos na fórmula do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = m - b

Passo 4

Então, a integral dupla fica:
integral duplaD (m - b) dA
Como (m - b) integral duplaD dA e são constantes, podemos simplificar para:
Agora, precisamos calcular a área que é o interior do círculo de raio 2.

Passo 5

A área de um círculo é integral duplaD dA = pi (2)^2 = 4pi . Aqui, (m - b) times 4pi = 4pi (m - b) , então:
Substituindo de volta na expressão:

Resposta

A integral de linha vale .

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