Calcule as seguintes integrais de linha ao longo do caminho indicado:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integrais de linha. A questão pede para calcular a integral de linha
ao longo do caminho definido por
,
para
. Para isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha e como parametrizar o caminho.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, é uma forma de somar valores ao longo de uma curva no plano. No nosso caso, a curva
é definida pelas equações paramétricas
e
, onde
varia de 0 a 1.
Passo 3
Agora, precisamos expressar
e
em termos de
. Derivando as equações paramétricas em relação a
:
Passo 4
Substituímos
,
,
e
na integral original:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, integramos a função
em relação a
:
Avaliada de 0 a 1:
Resposta
A integral de linha avaliada ao longo do caminho
é
.