Calcule as seguintes integrais de linha ao longo do caminho indicado:
integralC 2 y d x-3 x d y ; C: x=1-t, y=5-t ; 0 <= t <= 1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integrais de linha. A questão pede para calcular a integral de linha integralC 2 y , dx - 3 x , dy ao longo do caminho definido por C: x=1-t, y=5-t para 0 <= t <= 1. Para isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha e como parametrizar o caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, é uma forma de somar valores ao longo de uma curva no plano. No nosso caso, a curva C é definida pelas equações paramétricas x=1-t e y=5-t, onde t varia de 0 a 1.

Passo 3

Agora, precisamos expressar dx e dy em termos de t. Derivando as equações paramétricas em relação a t:
dx = ddt(1 - t) , dt = -1 , dt
dy = ddt(5 - t) , dt = -1 , dt

Passo 4

Substituímos x, y, dx e dy na integral original:
integralC 2 y , dx - 3 x , dy = integral0^1 2(5 - t)(-1) - 3(1 - t)(-1) , dt

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
2(5 - t)(-1) = -2(5 - t) = -10 + 2t
-3(1 - t)(-1) = 3(1 - t) = 3 - 3t
Então, a integral fica:
integral0^1 (-10 + 2t) + (3 - 3t) , dt = integral0^1 (-7 - t) , dt

Passo 6

Agora, integramos a função -7 - t em relação a t:
integral (-7 - t) , dt = -7t - 12t^2 + C
Avaliada de 0 a 1:
[ -7(1) - 12(1)^2 ] - [ -7(0) - 12(0)^2 ] = -7 - 12 - 0 = -7.5

Resposta

A integral de linha avaliada ao longo do caminho C é -7,5.

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