Determine a massa e o momento de inércia, em torno de um diâmetro, do fio
, com densidade
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinarmos a massa e o momento de inércia de um fio que forma um círculo de raio
(já que
é a equação de um círculo), com uma densidade que varia conforme
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral aplicados à física, especificamente integrando a densidade ao longo do caminho do fio para encontrar a massa, e depois calcular o momento de inércia em torno de um diâmetro usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a massa do fio. A massa
pode ser obtida integrando a densidade
ao longo do comprimento do fio. Como o fio é um círculo, é conveniente usar coordenadas polares para parametrizar o círculo.
Em coordenadas polares:
onde
varia de
a
.
A densidade
em termos de
fica:
O comprimento diferencial do fio em coordenadas polares é:
Então, a massa total
é:
Passo 3
Vamos calcular a integral
.
Sabemos que as funções
e
têm período
e simetria, então podemos calcular a integral de
a
e multiplicar por 4:
Portanto:
Passo 4
Agora, substituímos esse resultado na expressão da massa:
Então, a massa do fio é
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o momento de inércia
em torno de um diâmetro. O momento de inércia para um ponto em relação a um eixo é dado por
, onde
é a distância do ponto ao eixo e
é a massa desse ponto.
No caso do círculo, ao escolhermos um diâmetro como eixo, a distância
de cada ponto no círculo ao eixo será
ou
, dependendo de qual diâmetro escolhemos. Vamos considerar, sem perda de generalidade, que o diâmetro escolhido é o eixo
, então a distância dos pontos ao eixo
é
.
Em coordenadas polares:
Portanto, a expressão para o momento de inércia é:
Passo 6
Vamos calcular a integral
.
Devido à simetria, podemos novamente calcular de
a
e multiplicar por 4:
Calculando cada uma:
Para
:
Vamos fazer uma substituição:
, então
.
Para
:
Sabemos que
. Para
:
Então:
Portanto:
Passo 7
Voltando à expressão do momento de inércia:
Então, o momento de inércia do fio em torno de um diâmetro é
.
Resposta
A massa do fio é
e o momento de inércia em torno de um diâmetro é
.