Determine a massa e o momento de inércia, em torno de um diâmetro, do fio gamma: x^2 + y^2 = a^2, com densidade sigma(x, y) = |x| + |y|.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinarmos a massa e o momento de inércia de um fio que forma um círculo de raio (já que é a equação de um círculo), com uma densidade que varia conforme . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral aplicados à física, especificamente integrando a densidade ao longo do caminho do fio para encontrar a massa, e depois calcular o momento de inércia em torno de um diâmetro usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a massa do fio. A massa pode ser obtida integrando a densidade ao longo do comprimento do fio. Como o fio é um círculo, é conveniente usar coordenadas polares para parametrizar o círculo.
Em coordenadas polares:
onde varia de a .
A densidade em termos de fica:
O comprimento diferencial do fio em coordenadas polares é:
Então, a massa total é:

Passo 3

Vamos calcular a integral .
Sabemos que as funções e têm período e simetria, então podemos calcular a integral de a e multiplicar por 4:
Portanto:

Passo 4

Agora, substituímos esse resultado na expressão da massa:
Então, a massa do fio é .

Passo 5

Agora, vamos calcular o momento de inércia em torno de um diâmetro. O momento de inércia para um ponto em relação a um eixo é dado por , onde é a distância do ponto ao eixo e é a massa desse ponto.
No caso do círculo, ao escolhermos um diâmetro como eixo, a distância de cada ponto no círculo ao eixo será ou , dependendo de qual diâmetro escolhemos. Vamos considerar, sem perda de generalidade, que o diâmetro escolhido é o eixo , então a distância dos pontos ao eixo é .
Em coordenadas polares:
Portanto, a expressão para o momento de inércia é:

Passo 6

Vamos calcular a integral .
Devido à simetria, podemos novamente calcular de a e multiplicar por 4:
Calculando cada uma:
Para :
Vamos fazer uma substituição: , então .
Para :
Sabemos que . Para :
Então:
Portanto:

Passo 7

Voltando à expressão do momento de inércia:
Então, o momento de inércia do fio em torno de um diâmetro é .

Resposta

A massa do fio é e o momento de inércia em torno de um diâmetro é .

Exercícios relacionados