Determine o trabalho realizado pelo campo de forças F = (2x + 3y)i + xyj, para levar uma partícula da origem até o ponto A(1,1), ao longo do círculo x^2 + (y - 1)^2 = 1.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um campo de forças dado por e precisamos calcular o trabalho realizado por esse campo para mover uma partícula da origem (0,0) até o ponto A(1,1) ao longo do caminho definido pelo círculo .
Para resolver isso, vamos usar o conceito de trabalho realizado por um campo de forças ao longo de uma curva. O trabalho é calculado pela integral de linha do produto escalar do campo de forças F com o vetor deslocamento ao longo do caminho.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar o caminho que a partícula vai seguir. O caminho é o círculo dado por . Esse é um círculo com centro em 0,1 e raio 1. Vamos parametrizar esse círculo usando um parâmetro theta, que representa o ângulo em radianos.
Podemos definir:
onde theta varia de a 0 para mover de (0,0) a 1,1.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor deslocamento diferencial . Derivando x e y em relação a theta, temos:
Então,

Passo 4

Agora substituímos as expressões de x e y na força F:
Simplificando:

Passo 5

O próximo passo é calcular o produto escalar :
Distribuindo os termos:

Passo 6

Agora, simplificamos a expressão resultante:
Podemos reorganizar os termos:

Passo 7

Agora, integramos em relação a theta de a 0:
Essa integral pode ser resolvida termo a termo usando técnicas de integração padrão.

Passo 8

Vamos resolver cada termo da integral separadamente:

Passo 9

Agora, somamos todas as integrais avaliadas nos limites de a 0:

Passo 10

Finalmente, avaliamos a expressão no limite superior ( ) e no limite inferior ( ) e subtraímos:
Para :
Para :
Então:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de forças ao mover a partícula da origem até o ponto A(1,1) ao longo do círculo é:

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