Determine o trabalho realizado pelo campo de forças
, para levar uma partícula da origem até o ponto
, ao longo do círculo
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um campo de forças dado por
e precisamos calcular o trabalho realizado por esse campo para mover uma partícula da origem
até o ponto
ao longo do caminho definido pelo círculo
.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de trabalho realizado por um campo de forças ao longo de uma curva. O trabalho é calculado pela integral de linha do produto escalar do campo de forças
com o vetor deslocamento
ao longo do caminho.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar o caminho que a partícula vai seguir. O caminho é o círculo dado por
. Esse é um círculo com centro em
e raio
. Vamos parametrizar esse círculo usando um parâmetro
, que representa o ângulo em radianos.
Podemos definir:
onde
varia de
a
para mover de
a
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor deslocamento diferencial
. Derivando
e
em relação a
, temos:
Então,
Passo 4
Agora substituímos as expressões de
e
na força
:
Simplificando:
Passo 5
O próximo passo é calcular o produto escalar
:
Distribuindo os termos:
Passo 6
Agora, simplificamos a expressão resultante:
Podemos reorganizar os termos:
Passo 7
Agora, integramos
em relação a
de
a
:
Essa integral pode ser resolvida termo a termo usando técnicas de integração padrão.
Passo 8
Vamos resolver cada termo da integral separadamente:
Passo 9
Agora, somamos todas as integrais avaliadas nos limites de
a
:
Passo 10
Finalmente, avaliamos a expressão no limite superior (
) e no limite inferior (
) e subtraímos:
Para
:
Para
:
Então:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de forças ao mover a partícula da origem até o ponto
ao longo do círculo é: