Estude a convergência e divergência das séries:
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^{2 n}}{\left(1+2 n^{2}\right)^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^{2n}}{\bigl(1+2n^{2}\bigr)^{n}}.
Aqui o conteúdo principal é o Teste da Raiz (ou Cauchy), que diz que, para \displaystyle a_{n}, se
L \;=\;\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lvert a_{n}\rvert}
existe e L<1, então a série \sum a_{n} converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 2

Identificamos
a_{n} \;=\;\frac{n^{2n}}{\bigl(1+2n^{2}\bigr)^{n}}.
Aplicando o Teste da Raiz, calculamos
\sqrt[n]{a_{n}} =\sqrt[n]{\frac{n^{2n}}{(1+2n^{2})^{n}}} =\frac{n^{2}}{1+2n^{2}}.

Passo 3

Agora tomamos o limite dessa expressão quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{1+2n^{2}} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2+\tfrac{1}{n^{2}}} =\frac{1}{2}.

Passo 4

Como o limite L=\tfrac12 é estritamente menor que 1, o Teste da Raiz garante que a série converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^{2n}}{(1+2n^{2})^{n}} converge (absolutamente, pelo Teste da Raiz).

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