Calcule as seguintes integrais de linha ao longo dos respectivos caminhos indicados:
F(x, y)=(y^2-z^2) imath-2 y z jmath-x^2 k, ao longo da trajetória r(t)=t^2 imath+t^3 jmath+t k, t in[0,1].

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha do campo vetorial
F(x,y,z)=(y^2 - z^2),imath-2yz,jmath-x^2,k
ao longo da curva
r(t)=t^2,imath+t^3,jmath+t,k, tin[0,1].
O conteúdo é integral de linha de campos vetoriais em R^3. Vamos usar a fórmula
integralC Fcdot dr ;=;integral0^1F(r(t))cdot r'(t),dt

Passo 2

Calculamos a derivada da parametrização:
r'(t)=(2t,,3t^2,,1)

Passo 3

Substituímos r(t) em F:
F(r(t))=(t^6 - t^2,,-2t^4,,-t^4)

Passo 4

Formamos o produto escalar
F(r(t))cdotr'(t) =(t^6 - t^2)cdot2t+(-2t^4)cdot3t^2+(-t^4)cdot1 =2t^7-6t^6 - t^4 -2t^3

Passo 5

Integramos de 0 a 1:
integral0^1(2t^7-6t^6 - t^4 -2t^3),dt =l[tfrac14t^8-tfrac67t^7-tfrac15t^5-tfrac12t^4r]0^1

Passo 6

Ao avaliar em t=1 e somar frações com denominador 140:
14-67-15-12 =35-120-28-70140 =-183140

Resposta

-183140

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