Mostre usando a definição de limite que a sequência converge para 1 .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a sequência e precisamos mostrar, usando a definição de limite, que essa sequência converge para 1. Vamos utilizar conceitos de limites de sequências e aplicar a definição formal para resolver isso.
Passo 2
A definição de limite de uma sequência diz que uma sequência converge para um limite se, para todo número positivo , existe um número inteiro positivo tal que para todo , a diferença é menor que .
Passo 3
No nosso caso, queremos mostrar que . Portanto, substituindo na definição:
Passo 4
Queremos que essa diferença seja menor que epsilon :
2n < epsilon
Para encontrar N , resolvemos a inequação para n :
n > 2epsilon
Passo 5
Assim, podemos escolher N como sendo qualquer número inteiro maior que 2epsilon . Isso garante que para todo n >= N , a condição |an - 1| < epsilon será satisfeita.
Resposta
Portanto, pela definição de limite, a sequência an = 2n + 1 converge para 1.