Mostre usando a definição de limite que a sequência an=2n+1 converge para 1 .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a sequência an = 2n + 1 e precisamos mostrar, usando a definição de limite, que essa sequência converge para 1. Vamos utilizar conceitos de limites de sequências e aplicar a definição formal para resolver isso.

Passo 2

A definição de limite de uma sequência diz que uma sequência an converge para um limite L se, para todo número positivo epsilon , existe um número inteiro positivo N tal que para todo n >= N , a diferença |an - L| é menor que epsilon .

Passo 3

No nosso caso, queremos mostrar que limn to infty an = 1 . Portanto, substituindo na definição:
|an - 1| = | 2n + 1 - 1 | = | 2n | = 2n

Passo 4

Queremos que essa diferença seja menor que epsilon :
2n < epsilon
Para encontrar N , resolvemos a inequação para n :
n > 2epsilon

Passo 5

Assim, podemos escolher N como sendo qualquer número inteiro maior que 2epsilon . Isso garante que para todo n >= N , a condição |an - 1| < epsilon será satisfeita.

Resposta

Portanto, pela definição de limite, a sequência an = 2n + 1 converge para 1.

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