Dados f(t)=j+t^2 k
& e & g(t)=t^2 j-t k
determinar:
a) (f(t) times g(t))^prime
b) (f(t) cdot g(t))^prime
c) (f(t) times f(t))^prime
d) (g(t) cdot g(t))^prime.

Passo 1

O enunciado dá as funções vetoriais
vec f(t)=vec j + t^2vec k e vec g(t)=t^2vec j - tvec k
e pede as derivadas dos produtos vetoriais e escalares. Vamos usar as regras
  1. (vec ftimesvec g)'=vec f'timesvec g+vec ftimesvec g'
  2. (vec fcdotvec g)'=vec f'cdotvec g+vec fcdotvec g'
    além de notar que vec ftimesvec f=vec0 e (vec gcdotvec g)'=2,vec gcdotvec g'.

Passo 2

Calcular as derivadas das funções
vec f(t)=(0,1,t^2) e vec g(t)=(0,t^2,-t):
vec f'(t)=(0,0,2t),
vec g'(t)=(0,2t,-1).

Passo 3

Aplicando a regra do produto vetorial:
vec f'timesvec g =l|(i,j,k);,(0,0,2t);,(0,t^2,-t)r|=-2t^3,vec i,
vec ftimesvec g'=l|(i,j,k);,(0,1,t^2);,(0,2t,-1)r|=-(1+2t^3),vec i.
Somando dá
(vec ftimesvec g)' =(-2t^3)+[-(1+2t^3)],vec i=-(1+4t^3),vec i

Passo 4

Pela regra do produto escalar:
vec f'cdotvec g=(0,0,2t)cdot(0,t^2,-t)=-2t^2,
vec fcdotvec g'=(0,1,t^2)cdot(0,2t,-1)=2t - t^2.
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(vec fcdotvec g)' = -2t^2 + (2t - t^2) = 2t - 3t^2

Passo 5

Como vec ftimesvec f=vec0 para todo t, sua derivada é
(vec ftimesvec f)'=vec0

Passo 6

Usando (vec gcdotvec g)'=2,vec gcdotvec g':
vec gcdotvec g'=(0,t^2,-t)cdot(0,2t,-1)=2t^3+t,
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(vec gcdotvec g)'=2,(2t^3+t)=4t^3+2t

Resposta

a) (vec ftimesvec g)'=-(1+4t^3),vec i
b) (vec fcdotvec g)'=2t-3t^2
c) (vec ftimesvec f)'=vec 0
d) (vec gcdotvec g)'=4t^3+2t

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