Calcule as seguintes integrais pelo Método da Substituição Simples:
\int x^{3}\left(2 x^{4}+8\right)^{9} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int x^{3}\bigl(2x^{4}+8\bigr)^{9}\,dx
usando o método da substituição simples. A ideia é identificar uma parte “composta” cuja derivada apareça multiplicando e, assim, simplificar a integral.

Passo 2

Fazemos a substituição
\;u = 2x^{4} + 8.
Diferenciando em relação a x, temos
\frac{du}{dx} = 8x^{3}\quad\Longrightarrow\quad du = 8x^{3}\,dx.
Logo,
\;x^{3}\,dx = \frac{du}{8}.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u:
\int x^{3}\bigl(2x^{4}+8\bigr)^{9}dx =\int \bigl(u\bigr)^{9}\,\frac{du}{8} =\frac{1}{8}\int u^{9}\,du.

Passo 4

Integramos em u:
\frac{1}{8}\int u^{9}\,du =\frac{1}{8}\;\frac{u^{10}}{10}+C =\frac{u^{10}}{80}+C.

Passo 5

Substituindo de volta u=2x^{4}+8, obtemos
\frac{\bigl(2x^{4}+8\bigr)^{10}}{80}+C.

Resposta

\int x^{3}\bigl(2x^{4}+8\bigr)^{9}dx =\frac{\bigl(2x^{4}+8\bigr)^{10}}{80}+C.

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