Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma integral dupla onde a ordem de integração precisa ser trocada. O enunciado é:
Matéria envolvida: Cálculo de integrais múltiplas e mudança de ordem de integração.
O que vamos precisar: Entender a região de integração e aplicar a troca da ordem de integração para simplificar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos duas variáveis,
e
, com os limites:
-
varia de 0 a 1. - Para cada
, varia de até 1.
Imagine um gráfico onde o eixo
vai de 0 a 1 e o eixo
também vai de 0 a 1. A região de integração é a área abaixo da linha
até
.
Passo 3
Agora, vamos trocar a ordem de integração. Em vez de integrar primeiro em
e depois em
, vamos integrar primeiro em
e depois em
.
Para isso, observamos que para cada
fixo,
varia de 0 até
. Então, os novos limites de integração serão:
-
varia de 0 a 1. - Para cada
, varia de 0 até .
Passo 4
Com a nova ordem de integração, a integral fica:
Note que
não depende de
, então podemos simplificar a integral interna.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral simples de
de 0 a 1:
Sabemos que
cos 0 = 1 , então: