Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração:
integral0^1(integralx^1 sen yy d y) d x

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma integral dupla onde a ordem de integração precisa ser trocada. O enunciado é:
integral0^1(integralx^1 sin yy , dy) dx
Matéria envolvida: Cálculo de integrais múltiplas e mudança de ordem de integração.
O que vamos precisar: Entender a região de integração e aplicar a troca da ordem de integração para simplificar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos duas variáveis, x e y , com os limites:
  • x varia de 0 a 1.
  • Para cada x , y varia de x até 1.
Imagine um gráfico onde o eixo x vai de 0 a 1 e o eixo y também vai de 0 a 1. A região de integração é a área abaixo da linha y = x até y = 1 .

Passo 3

Agora, vamos trocar a ordem de integração. Em vez de integrar primeiro em y e depois em x , vamos integrar primeiro em x e depois em y .
Para isso, observamos que para cada y fixo, x varia de 0 até y . Então, os novos limites de integração serão:
  • y varia de 0 a 1.
  • Para cada y , x varia de 0 até y .

Passo 4

Com a nova ordem de integração, a integral fica:
integral0^1 ( integral0^y sin yy , dx ) dy
Note que sin yy não depende de x , então podemos simplificar a integral interna.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a x :
integral0^y sin yy , dx = sin yy cdot integral0^y dx = sin yy cdot y = sin y
Então, a integral fica:
integral0^1 sin y , dy

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral simples de sin y de 0 a 1:
integral0^1 sin y , dy = -cos y |0^1 = -cos 1 - (-cos 0) = -cos 1 + cos 0
Sabemos que cos 0 = 1 , então:
-cos 1 + 1 = 1 - cos 1

Resposta

1 - cos 1

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