Capítulo 6: A Transformada de Laplace
Seção 6.3: Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^prime prime+2 y^prime+3 y=sen t+upi(t) sen(t-pi), y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado dá o PVI
y'' + 2y' + 3y = sin t + upi(t),sin(t-pi), y(0)=0,;y'(0)=1,
onde upi(t) é o degrau unitário em t=pi.
Conteúdo: transformada de Laplace e tratamento de termos com turno ua(t)f(t-a).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Seja .
Para o LHS:
Somando,
Para o RHS:
Logo a equação em é

Passo 3

Isolando Y(s):
Y(s) =1s^2+2s+3 l[ 1+1s^2+1+e^-pi ss^2+1 r] =underbraces^2+2(s^2+1)(s^2+2s+3)Y1(s) +underbracee^-pi s(s^2+1)(s^2+2s+3)Y2(s)

Passo 4

Decompomos em frações parciais
s^2+2(s^2+1)(s^2+2s+3) =A s+Bs^2+1+C s+Ds^2+2s+3
Resolvendo os sistemas de coeficientes obtém-se
A=-tfrac14,;B=tfrac14,; C=tfrac14,;D=tfrac54
Reescrevendo s^2+2s+3=(s+1)^2+2, fica
Y1(s) =-tfrac14s+tfrac14s^2+1 +tfrac14(s+1)+1(s+1)^2+2

Passo 5

Invertendo Y1(s):
y1(t) =-tfrac14cos t +tfrac14sin t +tfrac14e^-tcos(raiz2,t) +1raiz2,e^-tsin(raiz2,t)

Passo 6

Para Y2(s)=e^-pi sH(s) com
H(s)=1(s^2+1)(s^2+2s+3),
fazemos novamente frações parciais
1(s^2+1)(s^2+2s+3) =widetilde A s+widetilde Bs^2+1 +widetilde C s+widetilde Ds^2+2s+3,
e acha-se
widetilde A=-tfrac14,;widetilde B=tfrac14,; widetilde C=tfrac14,;widetilde D=tfrac14.
Isso dá
H(s) =-tfrac14s+tfrac14s^2+1 +tfrac14(s+1)(s+1)^2+2

Passo 7

Invertendo :
Pelo teorema do deslocamento,

Passo 8

Montamos a solução completa:
para 0<= t<pi,
y(t)=y1(t) =-tfrac14cos t +tfrac14sin t +tfrac14e^-tcos(raiz2,t) +1raiz2e^-tsin(raiz2,t),
e para t>=pi,
y(t)=y1(t)+h(t-pi)
=l[-tfrac14cos t +tfrac14sin t +tfrac14e^-tcos(raiz2,t) +tfrac1raiz2e^-tsin(raiz2,t)r] ;+;upi(t),l[-tfrac14cos(t-pi)+tfrac14sin(t-pi) +tfrac14e^-(t-pi)cos(raiz2,(t-pi))r]

Resposta

Para 0<= t<pi,
y(t) =-tfrac14cos t +tfrac14sin t +tfrac14e^-tcos(raiz2,t) +1raiz2e^-tsin(raiz2,t)
Para t>=pi,
y(t) =-tfrac14cos t +tfrac14sin t +tfrac14e^-tcos(raiz2,t) +1raiz2e^-tsin(raiz2,t) -tfrac14cos(t-pi)+tfrac14sin(t-pi) +tfrac14e^-(t-pi)cos(raiz2,(t-pi))

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