Capítulo 6: A Transformada de Laplace
Seção 6.3: Recorde que f(t) * g(t)=integral0^t f(t-tau) g(tau) d tau. Se F(s)=Lf(t) e G(s)=Lg(t), então
a) Mostre que Lf(t) * g(t)=F(s) G(s).
b) Mostre que Lf(t) *[g(t)+h(t)]=F(s) G(s)+F(s) H(s).

Passo 1

O enunciado pede para provar a propriedade da Transformada de Laplace da convolução
– conteúdo: Transformada de Laplace e definição de convolução
– vamos usar
  1. definição de convolução
  2. definição da Laplace
  3. troca de ordem de integração e substituição de variáveis

Passo 2

Escrevemos a Transformada de Laplace de (f*g)(t) usando sua definição e a da convolução:
L(f*g)(t) = integral0^infty e^-s tl(integral0^tf(t-tau),g(tau),dtaur),dt

Passo 3

Trocamos a ordem de integração no domínio
(t,tau)mid 0<= tau<= t<infty, ficando
integral0^infty!integraltau^infty e^-s t,f(t-tau),g(tau),dt,dtau
Dentro desse duplo integral, g(tau) não depende de t, então
integral0^inftyg(tau) l(integraltau^inftye^-s tf(t-tau),dtr)dtau
Agora fazemos a substituição u = t-tau, de modo que quando t=tau temos u=0 e quando ttoinfty temos utoinfty. Como dt = du, a integral interna vira
integral0^inftye^-s (u+tau)f(u),du = e^-stauintegral0^inftye^-s uf(u),du = e^-stau,F(s)

Passo 4

Substituindo de volta no integral duplo,
L(f*g)(t) = integral0^inftyg(tau)l(e^-stauF(s)r),dtau = F(s)integral0^inftyg(tau)e^-stau,dtau = F(s),G(s)
Isto prova a letra (a).

Passo 5

Para (b) usamos que convolução distribui sobre soma:
f*(g+h) = f*g ;+; f*h,
e que a Transformada de Laplace é linear. Logo,
Lf*(g+h) = Lf*g + Lf*h = F(s),G(s) ;+; F(s),H(s)

Resposta

a) Lf*g=F(s),G(s).
b) Lf*(g+h)=F(s),G(s)+F(s),H(s).

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