Capítulo 6: A Transformada de Laplace
Seção 6.3: Recorde que
. Se
e
, então
a) Mostre que
.
b) Mostre que
.
Seção 6.3: Recorde que
a) Mostre que
b) Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para provar a propriedade da Transformada de Laplace da convolução
– conteúdo: Transformada de Laplace e definição de convolução
– vamos usar
– conteúdo: Transformada de Laplace e definição de convolução
– vamos usar
- definição de convolução
- definição da Laplace
- troca de ordem de integração e substituição de variáveis
Passo 2
Escrevemos a Transformada de Laplace de
usando sua definição e a da convolução:
Passo 3
Trocamos a ordem de integração no domínio
, ficando
Dentro desse duplo integral,
não depende de
, então
Agora fazemos a substituição
, de modo que quando
temos
e quando
temos
. Como
, a integral interna vira
Passo 4
Substituindo de volta no integral duplo,
Isto prova a letra (a).
Passo 5
Para (b) usamos que convolução distribui sobre soma:
e que a Transformada de Laplace é linear. Logo,
Resposta
a)
.
b) .
b)