(i) Calcule a área da região do plano x O y, delimitada pelas representações geométricas dos gráficos das curvas y=3 x, x^2+y^2=9, x^2+y^2=4 e y=0.
(ii) De h neq 0, calcule o valor do quociente f(x+h)-f(x)h para as seguintes funções:

Passo 1

Resumindo o que o enunciado pede em (i): queremos a área da região do primeiro quadrante (pois é limitada por y=0) que está entre as circunferências de raio 2 e raio 3 centradas na origem, e também limitada pela reta y=3x. O conteúdo que vamos usar é cálculo de área em coordenadas polares, já que as fronteiras são círculos e uma reta através da origem.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x=rcostheta, y=rsintheta
A reta y=3x vira
rsintheta = 3,rcostheta Longrightarrow tantheta = 3 Longrightarrow theta = arctan(3)
O eixo y=0 é theta=0. As circunferências x^2+y^2=4 e x^2+y^2=9 viram r=2 e r=3, respectivamente. Logo a região é o anel entre r=2 e r=3, para theta de 0 a arctan(3).

Passo 3

A área em coordenadas polares é
integral duplaR dA =integraltheta=0^arctan(3) integralr=2^3 r,dr,dtheta
Calculamos primeiro em r:
integralr=2^3 r,dr =l[tfrac12r^2r]2^3 =tfrac12(9-4) =tfrac52
Então a integral total fica
integral0^arctan(3) tfrac52,dtheta =tfrac52;l[thetar]0^arctan(3) =tfrac52,arctan(3)

Passo 4

Para a parte (ii), o enunciado está incompleto: faltou especificar quais são as funções f para as quais devemos calcular o quociente l(f(x+h)-f(x)r)/h. Sem essa informação, não há como prosseguir.

Resposta

(i) 52,arctan(3)
(ii) Impossível responder, pois as funções não foram fornecidas.

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