(i) Calcule a área da região do plano
, delimitada pelas representações geométricas dos gráficos das curvas
e
.
(ii) De
, calcule o valor do quociente
para as seguintes funções:
a)
, para
(ii) De
a)
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Na parte (i) precisamos achar a área da região do plano limitada pelas curvas
,
,
e
. O método mais conveniente é usar coordenadas polares, pois as circunferências viram raios fixos e as retas viram ângulos fixos.
Na parte (ii) queremos, para , calcular o quociente
Na parte (ii) queremos, para
quando
. Aqui usaremos álgebra elementar para expandir e simplificar.
Passo 2
Para a parte (i) identificamos as fronteiras em coordenadas polares
, onde
e
:
- As circunferências
e viram e . - A reta
é . - A reta
dá
Logo a região é
.
Passo 3
A área em coordenadas polares é
Aqui usamos o elemento de área
.
Passo 4
Calculando a integral interna e depois a externa:
Passo 5
Para a parte (ii) aplicamos a definição do quociente incremental em
Temos
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Resposta
(i)
(ii)
(ii)