(i) Calcule a área da região do plano x O y, delimitada pelas representações geométricas dos gráficos das curvas y=3 x, x^2+y^2=9, x^2+y^2=4 e y=0.
(ii) De h neq 0, calcule o valor do quociente f(x+h)-f(x)h para as seguintes funções:
a) f(x)=x^2+x, para x in R

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na parte (i) precisamos achar a área da região do plano limitada pelas curvas y=3x, x^2+y^2=9, x^2+y^2=4 e y=0. O método mais conveniente é usar coordenadas polares, pois as circunferências viram raios fixos e as retas viram ângulos fixos.
Na parte (ii) queremos, para hneq0, calcular o quociente
f(x+h)-f(x)h
quando f(x)=x^2+x. Aqui usaremos álgebra elementar para expandir e simplificar.

Passo 2

Para a parte (i) identificamos as fronteiras em coordenadas polares (r,theta), onde x=rcostheta e y=rsintheta:
  1. As circunferências x^2+y^2=4 e x^2+y^2=9 viram r=2 e r=3.
  2. A reta y=0 é theta=0.
  3. A reta y=3x
rsintheta =3rcostheta Longrightarrow tantheta=3 Longrightarrow theta=arctan3
Logo a região é (r,theta)mid 2<= r<=3,;0<=theta<=arctan3.

Passo 3

A área em coordenadas polares é
A=integraltheta=0^arctan3integralr=2^3r,dr,dtheta
Aqui usamos o elemento de área dA=r,dr,dtheta.

Passo 4

Calculando a integral interna e depois a externa:
integralr=2^3r,dr =l[tfracr^22r]2^3 =9-42 =52
A =integral0^arctan352,dtheta =52,l[thetar]0^arctan3 =52,arctan3

Passo 5

Para a parte (ii) aplicamos a definição do quociente incremental em
f(x)=x^2+x
Temos
f(x+h)=(x+h)^2+(x+h) =x^2+2xh+h^2+x+h,
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f(x+h)-f(x)h =l(x^2+2xh+h^2+x+hr)-l(x^2+xr)h =2xh+h^2+hh =2x+h+1

Resposta

(i) A=52,arctan3
(ii) f(x+h)-f(x)h=2x+h+1

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