Calcule as seguintes integrais (OBS: Não é necessário simplificar o resultado encontrado)
\int_{0}^{\pi}\left(\operatorname{sen}^{2}(x)+\cos ^{3}(x)\right) d x. Dica: Separe as integrais e use as relaçoes trigonométricas uteis.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{\pi}\bigl(\sin^{2}(x)+\cos^{3}(x)\bigr)\,dx.
O conteúdo é integrais de funções trigonométricas; vamos usar a identidade para \sin^{2}(x) e substituição para \cos^{3}(x).

Passo 2

Separe a integral em
I_{1} = \int_{0}^{\pi}\sin^{2}(x)\,dx \quad\text{e}\quad I_{2} = \int_{0}^{\pi}\cos^{3}(x)\,dx.

Passo 3

Para I_{1}, use
\sin^{2}(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2}.
Então
I_{1} = \int_{0}^{\pi}\frac{1-\cos(2x)}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}1\,dx \;-\;\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\cos(2x)\,dx = \frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\Bigl[\tfrac{\sin(2x)}{2}\Bigr]_{0}^{\pi} = \frac{\pi}{2}.

Passo 4

Para I_{2}, escreva
\cos^{3}(x)=\cos(x)\bigl(1-\sin^{2}(x)\bigr)
e faça u=\sin(x), du=\cos(x)\,dx. Assim
\int \cos^{3}(x)\,dx = \int (1-u^{2})\,du = u - \frac{u^{3}}{3} = \sin(x) - \frac{\sin^{3}(x)}{3}.
Avaliando de 0 a \pi dá zero, logo
I_{2} = 0.

Passo 5

Somando as duas parcelas:
\int_{0}^{\pi}\bigl(\sin^{2}(x)+\cos^{3}(x)\bigr)\,dx = I_{1} + I_{2} = \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}

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