Calcule as seguintes integrais (OBS: Não é necessário simplificar o resultado encontrado)
\int_{0}^{2} x^{2} \operatorname{sen}(\pi x) d x

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral
\int_{0}^{2} x^{2}\sin(\pi x)\,dx
O conteúdo principal aqui é integração por partes, que aplicaremos duas vezes para reduzir a potência de x.

Passo 2

Primeira integração por partes. Escolhemos
u = x^{2},\quad dv = \sin(\pi x)\,dx
daí
du = 2x\,dx,\quad v = \int \sin(\pi x)\,dx = -\frac{1}{\pi}\cos(\pi x).
Pela fórmula
\int u\,dv = uv - \int v\,du
temos
\int x^{2}\sin(\pi x)\,dx = -\frac{x^{2}}{\pi}\cos(\pi x) + \frac{2}{\pi}\int x\cos(\pi x)\,dx.

Passo 3

Agora calculamos \displaystyle \int x\cos(\pi x)\,dx por partes de novo, com
u = x,\quad dv = \cos(\pi x)\,dx
logo
du = dx,\quad v = \int \cos(\pi x)\,dx = \frac{1}{\pi}\sin(\pi x).
Assim
\int x\cos(\pi x)\,dx = x\cdot\frac{1}{\pi}\sin(\pi x) - \int \frac{1}{\pi}\sin(\pi x)\,dx = \frac{x}{\pi}\sin(\pi x) + \frac{1}{\pi^{2}}\cos(\pi x) + C.

Passo 4

Substituindo de volta na expressão da integral original:
\int x^{2}\sin(\pi x)\,dx = -\frac{x^{2}}{\pi}\cos(\pi x) + \frac{2}{\pi}\Bigl(\frac{x}{\pi}\sin(\pi x) + \frac{1}{\pi^{2}}\cos(\pi x)\Bigr) + C
ou seja
\int x^{2}\sin(\pi x)\,dx = -\frac{x^{2}}{\pi}\cos(\pi x) + \frac{2x}{\pi^{2}}\sin(\pi x) + \frac{2}{\pi^{3}}\cos(\pi x) + C.

Passo 5

Avaliaremos de 0 a 2. Definindo
F(x) = -\frac{x^{2}}{\pi}\cos(\pi x) + \frac{2x}{\pi^{2}}\sin(\pi x) + \frac{2}{\pi^{3}}\cos(\pi x),
temos
F(2) = -\frac{4}{\pi}\cos(2\pi) + \underbrace{\frac{4}{\pi^{2}}\sin(2\pi)}_{0} + \frac{2}{\pi^{3}}\cos(2\pi) = -\frac{4}{\pi} + \frac{2}{\pi^{3}},
F(0) = -0 + 0 + \frac{2}{\pi^{3}}\cos(0) = \frac{2}{\pi^{3}}.
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\int_{0}^{2} x^{2}\sin(\pi x)\,dx = F(2) - F(0) = \Bigl(-\tfrac{4}{\pi} + \tfrac{2}{\pi^{3}}\Bigr) - \tfrac{2}{\pi^{3}} = -\frac{4}{\pi}.

Resposta

-\frac{4}{\pi}

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