Explain why the function is differentiable at the given point. Then find the linearization L(x, y) of the function at that point.
f(x, y)=\frac{x}{x+y}, \quad(2,1)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x,y)=\frac{x}{x+y}
é diferenciável em (2,1) e, em seguida, encontrar a linearização L(x,y) nesse ponto. O conteúdo envolve critério de diferenciabilidade via existência e continuidade das derivadas parciais e a fórmula de linearização.

Passo 2

Para aplicar o critério, notamos que f é quociente de funções polinomiais (o numerador x e o denominador x+y) e que x+y\neq0 num entorno de (2,1) (ali vale 2+1=3\neq0). Como polinomiais são diferenciáveis e o denominador não zera, o quociente é diferenciável num vizinhança de (2,1). Em particular, f é diferenciável em (2,1).

Passo 3

Vamos achar as derivadas parciais gerais usando a regra do quociente:
f_x(x,y) =\frac{(1)\,(x+y)-x\,(1)}{(x+y)^2} =\frac{y}{(x+y)^2},
f_y(x,y) =\frac{0\cdot(x+y)-x\cdot(1)}{(x+y)^2} =-\frac{x}{(x+y)^2}.

Passo 4

Agora avaliamos em (2,1):
f(2,1)=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}, \quad f_x(2,1)=\frac{1}{(2+1)^2}=\frac{1}{9}, \quad f_y(2,1)=-\frac{2}{(2+1)^2}=-\frac{2}{9}.

Passo 5

A linearização de f em (2,1) é dada por
L(x,y) =f(2,1)+f_x(2,1)\,(x-2)+f_y(2,1)\,(y-1).
Substituindo:
L(x,y) =\frac{2}{3}+\frac{1}{9}(x-2)-\frac{2}{9}(y-1).

Resposta

L(x,y)=\frac{2}{3}+\frac{x-2}{9}-\frac{2(y-1)}{9}.

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