Explain why the function is differentiable at the given point. Then find the linearization
of the function at that point.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é diferenciável em
e, em seguida, encontrar a linearização
nesse ponto. O conteúdo envolve critério de diferenciabilidade via existência e continuidade das derivadas parciais e a fórmula de linearização.
Passo 2
Para aplicar o critério, notamos que
é quociente de funções polinomiais (o numerador
e o denominador
) e que
num entorno de
(ali vale
). Como polinomiais são diferenciáveis e o denominador não zera, o quociente é diferenciável num vizinhança de
. Em particular,
é diferenciável em
.
Passo 3
Vamos achar as derivadas parciais gerais usando a regra do quociente:
Passo 4
Agora avaliamos em
:
Passo 5
A linearização de
em
é dada por
Substituindo: