Explain why the function is differentiable at the given point. Then find the linearization L(x, y) of the function at that point.
f(x, y)=\sqrt{x+e^{4 y}}, \quad(3,0)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\sqrt{x+e^{4y}}
e pede para explicar por que ela é diferenciável em (3,0) e então encontrar a linearização L(x,y) nesse ponto. Para isso vamos usar que somas, exponenciação e a raiz quadrada (no domínio positivo) são funções diferenciáveis, e depois calcular as derivadas parciais em (3,0).

Passo 2

Note que a função interna
g(x,y)=x+e^{4y}
é diferenciável em todo \R^2 pois é soma de x (linear) e de y\mapsto e^{4y} (composição de exponencial e de 4y). Em seguida, a função
h(u)=\sqrt{u}
é diferenciável para u>0. No ponto (3,0) temos
g(3,0)=3+e^{0}=4>0,
logo h\circ g, que é nossa f, é diferenciável em (3,0).

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y)=\bigl(g(x,y)\bigr)^{1/2} usando a regra da cadeia:
f_x(x,y) =\frac{1}{2\sqrt{x+e^{4y}}} \,,\qquad f_y(x,y) =\frac{1}{2\sqrt{x+e^{4y}}}\cdot\frac{d}{dy}\bigl(e^{4y}\bigr) =\frac{1}{2\sqrt{x+e^{4y}}}\cdot4e^{4y} =\frac{2\,e^{4y}}{\sqrt{x+e^{4y}}}.

Passo 4

Agora avaliamos em (3,0):
f(3,0)=\sqrt{3+e^{0}}=\sqrt{4}=2,
f_x(3,0)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}, \qquad f_y(3,0)=\frac{2\,e^{0}}{\sqrt{4}}=\frac{2}{2}=1.

Passo 5

A linearização de f em (3,0) é
L(x,y) =f(3,0)+f_x(3,0)\,(x-3)+f_y(3,0)\,(y-0) =2+\tfrac{1}{4}(x-3)+1\cdot y.

Resposta

L(x,y)=2+\frac{1}{4}(x-3)+y.

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