Explain why the function is differentiable at the given point. Then find the linearization
of the function at that point.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para explicar por que ela é diferenciável em
e então encontrar a linearização
nesse ponto. Para isso vamos usar que somas, exponenciação e a raiz quadrada (no domínio positivo) são funções diferenciáveis, e depois calcular as derivadas parciais em
.
Passo 2
Note que a função interna
é diferenciável em todo
pois é soma de
(linear) e de
(composição de exponencial e de
). Em seguida, a função
é diferenciável para
. No ponto
temos
logo
, que é nossa
, é diferenciável em
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
usando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora avaliamos em
:
Passo 5
A linearização de
em
é