Calcule as seguintes integrais (OBS: Não é necessário simplificar o resultado encontrado)
\int \frac{6 x+4}{x(x+2)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{6x + 4}{x\,(x+2)^2}\,dx.
Este é um problema de integração de função racional. Vamos usar o método de frações parciais, que consiste em decompor o integrando em somas de termos mais simples que a gente sabe integrar.

Passo 2

Começamos propondo a decomposição em frações parciais:
\frac{6x + 4}{x\,(x+2)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{(x+2)^2}.
Multiplicando ambos os lados por x\,(x+2)^2, obtemos
6x + 4 = A\,(x+2)^2 + B\,x\,(x+2) + C\,x.

Passo 3

Expandindo o lado direito:
A\,(x^2 + 4x + 4) + B\,(x^2 + 2x) + C\,x = (A + B)\,x^2 + (4A + 2B + C)\,x + 4A.
Comparando coeficientes com 6x + 4 = 0\cdot x^2 + 6x + 4\), temos o sistema \[\begin{cases} A + B = 0,\\\\ 4A + 2B + C = 6,\\\\ 4A = 4. \end{cases}
Da última equação segue A=1\]. Então \(B = -A = -1. E da segunda:
4\cdot1 + 2\cdot(-1) + C = 6 \;\implies\; 4 -2 + C = 6 \;\implies\; C = 4.

Passo 4

Com A=1, B=-1, C=4, a integral vira
\int \Bigl(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+2} + \frac{4}{(x+2)^2}\Bigr)\,dx.
Agora integramos termo a termo:
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert, \quad \int \frac{-1}{x+2}\,dx = -\ln\lvert x+2\rvert, \quad \int \frac{4}{(x+2)^2}\,dx = 4\int (x+2)^{-2}\,dx = 4\cdot\frac{(x+2)^{-1}}{-1} = -\frac{4}{x+2}.

Passo 5

Somando os resultados, obtemos
\int \frac{6x + 4}{x\,(x+2)^2}\,dx = \ln\lvert x\rvert \;-\;\ln\lvert x+2\rvert \;-\;\frac{4}{x+2} \;+\; C.

Resposta

\ln\lvert x\rvert - \ln\lvert x+2\rvert - \frac{4}{x+2} + C

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