Resolva as edo’s abaixo usando o método do fator integrante ou da separação de variáveis:
y^{\prime}=\frac{t^{2}}{y}\left(1+t^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' = \frac{t^{2}}{y}\,\bigl(1+t^{3}\bigr)
usando separação de variáveis. O conteúdo é EDO separável, então vamos isolar y de um lado e t do outro e integrar.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo y' = \frac{dy}{dt}:
\frac{dy}{dt} = \frac{t^{2}}{y}\,(1+t^{3}) \quad\Longrightarrow\quad y\,dy = t^{2}\,(1+t^{3})\,dt.

Passo 3

Integre ambos os lados:
\int y\,dy = \int t^{2}(1+t^{3})\,dt.
No lado esquerdo,
\int y\,dy = \frac{y^{2}}{2}.
No lado direito,
\int t^{2}(1+t^{3})\,dt = \int \bigl(t^{2} + t^{5}\bigr)\,dt = \frac{t^{3}}{3} + \frac{t^{6}}{6} + C.

Passo 4

Igualando e multiplicando por 2 para simplificar:
y^{2} = 2\Bigl(\frac{t^{3}}{3} + \frac{t^{6}}{6} + C\Bigr) = \frac{2}{3}\,t^{3} + \frac{1}{3}\,t^{6} + C_{1},
onde C_{1}=2C é constante arbitrária. Podemos também escrever
y^{2} = \frac{t^{3}(2 + t^{3})}{3} + C_{1}.
Portanto,
y(t) = \pm\sqrt{\frac{2\,t^{3} + t^{6}}{3} + C_{1}}.

Resposta

\boxed{y^{2} = \frac{2}{3}\,t^{3} + \frac{1}{3}\,t^{6} + C_{1} \quad\Longleftrightarrow\quad y(t) = \pm\sqrt{\frac{t^{3}(2 + t^{3})}{3} + C_{1}},}
com C_{1} constante de integração.

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