Resolva as edo’s abaixo usando o método do fator integrante ou da separação de variáveis:
y^{\prime}-2 y=x^{2} e^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y' - 2y = x^2 e^{2x}
que é uma equação linear de 1ª ordem. Vamos usar o método do fator integrante, que envolve escrever a equação na forma padrão
y' + P(x)\,y = Q(x)
e encontrar um fator integrante \mu(x) tal que o lado esquerdo se torne a derivada de \mu(x)\,y.

Passo 2

Colocamos a equação em forma padrão identificando
P(x) = -2 \quad\text{e}\quad Q(x) = x^2 e^{2x}.
Assim reescrevemos
y' + (-2)\,y = x^2 e^{2x}.

Passo 3

Calculamos o fator integrante \mu(x) pela fórmula
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\!\Bigl(\int -2\,dx\Bigr) = e^{-2x}.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por \mu(x)=e^{-2x}, obtendo
e^{-2x}y' - 2e^{-2x}y = x^2.
O lado esquerdo é exatamente a derivada de \,e^{-2x}y, pois
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-2x}y\bigr) = e^{-2x}y' + \bigl(-2e^{-2x}\bigr)y = e^{-2x}y' - 2e^{-2x}y.

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x, temos
\int \frac{d}{dx}\bigl(e^{-2x}y\bigr)\,dx = \int x^2\,dx \quad\Longrightarrow\quad e^{-2x}y = \frac{x^3}{3} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolamos y multiplicando por e^{2x}:
y = e^{2x}\,\Bigl(\frac{x^3}{3} + C\Bigr).

Resposta

y(x) = e^{2x}\Bigl(\frac{x^3}{3} + C\Bigr),
sendo C constante arbitrária.

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