Calcule as seguintes integrais (OBS: Não é necessário simplificar o resultado encontrado)
\int_{0}^{\pi} \frac{\cos (x)}{(2 \operatorname{sen}(x)+1)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi} \frac{\cos(x)}{(2\sin(x)+1)^{2}} \,dx.
O conteúdo aqui é integração por substituição, aproveitando que a derivada de \sin(x) é \cos(x).

Passo 2

Repara que o denominador é 2\sin(x)+1 e
\frac{d}{dx}\bigl(2\sin(x)+1\bigr)=2\cos(x).
Logo, fazemos a substituição
u = 2\sin(x)+1, \quad du = 2\cos(x)\,dx, \quad \cos(x)\,dx = \frac{du}{2}.

Passo 3

Em termos de u, a integral vira
\int \frac{\cos(x)}{(2\sin(x)+1)^{2}}\,dx = \int \frac{1}{u^{2}}\;\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int u^{-2}\,du.

Passo 4

Calculando a primitiva:
\frac{1}{2}\int u^{-2}\,du =\frac{1}{2}\bigl(-u^{-1}\bigr)+C =-\frac{1}{2u}+C.
Voltando a x, uma antiderivada é
F(x) = -\frac{1}{2\bigl(2\sin(x)+1\bigr)}.

Passo 5

Avaliaremos F(x) de 0 a \pi:
F(\pi) = -\frac{1}{2(2\sin(\pi)+1)} = -\frac{1}{2\cdot1} = -\frac{1}{2},
F(0) = -\frac{1}{2(2\sin(0)+1)} = -\frac{1}{2\cdot1} = -\frac{1}{2}.
Portanto,
\int_{0}^{\pi} \frac{\cos(x)}{(2\sin(x)+1)^{2}}\,dx = F(\pi) - F(0) = -\tfrac{1}{2} - \bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = 0.

Resposta

0

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