Na cidade “La Cuca Racha”, a população de baratas pode ser descrita, em função do tempo (em dias), por uma função, P(t). Em um determinado momento, devido à ineficiência do controle de pragas por parte do poder público, a quantidade baratas começou a crescer assustadoramente. A taxa que expressa esse crescimento pode ser modelada por P^{\prime}(t)=10 \cdot(0,2 t+1)^{9}. Sabendo que a população inicial, no momento que começou a infestação, era P(0)=1005 baratas, faça o que se pede:
a) Use P^{\prime}(t) e P(0) para encontrar uma expressão para a população de baratas, P(t).
b) O Estado prometeu contratar a companhia de extermínio de pragas “Bugbusters”, caso a população de baratas ultrapasse 2 milhões. Após o periodo de 15 dias, pode-se afirmar que a firma foi contratada? Justifique. Se necessário, use 4^{10} \approx 1000000 (1 milhão).

Passo 1

O enunciado nos dá a taxa de crescimento da população de baratas
P'(t)=10\,(0,2t+1)^{9}
e a condição inicial P(0)=1005.
O conteúdo aqui é integração de função polinomial composta, usando substituição, para encontrar P(t), e depois avaliaremos P(15) para comparar com 2 000 000.

Passo 2

Para integrar P'(t), fazemos a substituição
u = 0,2t + 1,
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du = 0,2\,dt\quad\Longrightarrow\quad dt = \frac{du}{0,2}=5\,du.
Assim,
\int P'(t)\,dt = \int 10\,(0,2t+1)^{9}\,dt = 10\int u^{9}\cdot5\,du =50\int u^{9}\,du =50\frac{u^{10}}{10} =5u^{10}+C.
Voltando a t, obtemos
P(t)=5\,(0,2t+1)^{10}+C.

Passo 3

Usamos a condição P(0)=1005:
P(0)=5\,(0,2\cdot0+1)^{10}+C =5\cdot1^{10}+C =5+C \overset!=1005 \;\Longrightarrow\;C=1000.
Portanto, a expressão buscada é
P(t)=5\,(0,2t+1)^{10}+1000.

Passo 4

Para saber se P(15) ultrapassa 2 000 000, calculamos
0,2\cdot15+1=4 \quad\Longrightarrow\quad P(15)=5\cdot4^{10}+1000.
Usando 4^{10}\approx1\,000\,000,
P(15)\approx5\times1\,000\,000+1000 =5\,001\,000,
que é bem maior que 2\,000\,000.

Resposta

(a) \displaystyle P(t)=5\,(0,2t+1)^{10}+1000.
(b) Sim. Após 15 dias, a população é aproximadamente 5\,001\,000, acima de 2\,000\,000, logo a “Bugbusters” seria contratada.

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